如图,公交车行驶在笔直的公路上,这条路上有,,,四个站点,每相邻两站之间的距离为5千米,从站开往站的车称为上行车,从站开往站的车称为下行车.第一班上行车、下行车分别从站、站同时发车,相向而行,且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在,站同时发一班车,乘客只能到站点上、下车(上、下车的时间忽略不计),上行车、下行车的速度均为30千米/小时.
(1)问第一班上行车到站、第一班下行车到站分别用时多少?
(2)若第一班上行车行驶时间为小时,第一班上行车与第一班下行车之间的距离为千米,求与的函数关系式.
(3)一乘客前往站办事,他在,两站间的处(不含,站),刚好遇到上行车,千米,此时,接到通知,必须在35分钟内赶到,他可选择走到站或走到站乘下行车前往站.若乘客的步行速度是5千米/小时,求满足的条件.
【解答】(1)第一班上行车到站用时小时.
第一班下行车到站用时小时.
(2)当时,.
当时,.
(3)由(2)知同时出发的一对上、下行车的位置关于中点对称,设乘客到达站总时间为分钟,
当时,往站用时30分钟,还需再等下行车5分钟,
,不合题意.
当时,只能往站坐下行车,他离站千米,则离他右边最近的下行车离站也是千米,这辆下行车离站千米.
如果能乘上右侧第一辆下行车,,,∴,
,
∴符合题意.
如果乘不上右侧第一辆下行车,只能乘右侧第二辆下行车,,
,,
∴,,
∴符合题意.
如果乘不上右侧第二辆下行车,只能乘右侧第三辆下行车,,
,,
∴,,不合题意.
∴综上,得.
当时,乘客需往站乘坐下行车,
离他左边最近的下行车离站是千米,
离他右边最近的下行车离站也是千米,
如果乘上右侧第一辆下行车,,
∴,不合题意.
如果乘不上右侧第一辆下行车,只能乘右侧第二辆下行车,,
,,∴,,
∴符合题意.
如果乘不上右侧第二辆下行车,只能乘右侧第三辆下行车,,
,,,
∴不合题意.
∴综上,得.
综上所述,或.
【点评】考查一次函数,一元一次不等式等的实际应用. 解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题,学会构建一次函数和一元一次不等式.
小敏思考解决如下问题:
原题:如图1,点,分别在菱形的边,上,,求证:.
(1)小敏进行探索,若将点,的位置特殊化:把绕点旋转得到,使,点,分别在边,上,如图2,此时她证明了.请你证明.
(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图3,作,,垂足分别为,.请你继续完成原题的证明.
(3)如果在原题中添加条件:,,如图1.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案(根据编出的问题层次,给不同的得分).
【解答】(1)如图1,
在菱形中,
,,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∴.
(2)如图2,由(1),∵,
∴ ,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴.
(3)不唯一,举例如下:
层次1:①求的度数.答案:.
②分别求,的度数.答案:.
③求菱形的周长.答案:16.
④分别求,,的长.答案:4,4,4.
层次2:①求的值.答案:4.
②求的值.答案:4.
③求的值.答案:.
层次3:①求四边形的面积.答案:.
②求与的面积和.答案:.
③求四边形周长的最小值.答案:.
④求中点运动的路径长.答案:.
【点评】考查菱形的性质,三角形全等的判定与性质等,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形中,,求的度数.(答案:)
例2 等腰三角形中,,求的度数.(答案:或或)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 等腰三角形中,,求的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,的度数不同,得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中,设,当有三个不同的度数时,请你探索的取值范围.
(1)或或;(2)当且,有三个不同的度数.
【解析】【分析】(1)分为顶角和为底角,两种情况进行讨论.
(2)分①当时,②当时,两种情况进行讨论.
【解答】(1)当为顶角,则,
当为底角,若为顶角,则,
若为底角,则,
∴或或.
(2)分两种情况:
①当时,只能为顶角,
∴的度数只有一个.
②当时,
若为顶角,则,
若为底角,则或,
当且且,即时,
有三个不同的度数.
综上①②,当且,有三个不同的度数.
【点评】考查了等腰三角形的性质,注意分类讨论思想在数学中的应用.
如图1,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图,滑轨安装在窗框上,托悬臂安装在窗扇上,交点处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点,,始终在一直线上,延长交于点.已知,,.
(1)窗扇完全打开,张角,求此时窗扇与窗框的夹角的度数.
(2)窗扇部分打开,张角,求此时点,之间的距离(精确到).
(参考数据:,)
(1);(2).
【解析】【分析】(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ACDE是平行四边形,根据平行四边形的对边平行得出CA∥DE,根据二直线平行,同位角相等得出答案;
(2)如图,过点作于点,根据锐角三角函数进行求解即可.
【解答】(1)∵,,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴.
(2)如图,过点作于点,
∵,
∴,
,
∵,,∴,
在中,,
∴.
【点评】考查平行四边形的判定与性质,平行线的判定与性质,解直角三角形等,注意辅助线的作法.
一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米,如图是油箱剩余油量(升)关于加满油后已行驶的路程(千米)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出汽车行驶400千米时,油箱内的剩余油量,并计算加满油时油箱的油量;
(2)求关于的函数关系式,并计算该汽车在剩余油量5升时,已行驶的路程.
米.
【解析】【分析】(1)观察图象,即可得到油箱内的剩余油量,根据耗油量计算出加满油时油箱的油量;
用待定系数法求出一次函数解析式,再代入进行运算即可.
【解答】(1)汽车行驶400千米,剩余油量30升,
即加满油时,油量为70升.
(2)设,把点,坐标分别代入得,,
∴,当时,,即已行驶的路程为650千米.
【点评】考查待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征等,关键是掌握待定系数法求函数解析式.
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