如图,抛物线经过原点O(0,0),点A(1,1),点.
(1)求抛物线解析式;
(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于C,连接OC,求△AOC的面积;
(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点,连接OM,过点M作MN⊥OM交x轴于点N.问:是否存在点M,使以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=ax(x﹣),
把A(1,1)代入得a•1(1﹣)=1,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣x(x﹣),
即y=﹣x2+x;
(2)延长CA交y轴于D,如图1,
∵A(1,1),
∴OA=,∠DOA=45°,
∴△AOD为等腰直角三角形,
∵OA⊥AC,
∴OD=OA=2,
∴D(0,2),
易得直线AD的解析式为y=﹣x+2,
解方程组得或,则C(5,﹣3),
∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD
=×2×5﹣×2×1
=4;
(3)存在.
如图2,作MH⊥x轴于H,AC==4,OA=,
设M(x,﹣x2+x)(x>0),
∵∠OHM=∠OAC,
∴当=时,△OHM∽△OAC,即=,
解方程﹣x2+x=4x得x1=0(舍去),x2=﹣(舍去),
解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0(舍去),x2=,此时M点坐标为(,﹣54);
当=时,△OHM∽△CAO,即=,
解方程﹣x2+x=x得x1=0(舍去),x2=,此时M点的坐标为(,),
解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0(舍去),x2=﹣,此时M点坐标为(,﹣);
∵MN⊥OM,
∴∠OMN=90°,
∴∠MON=∠HOM,
∴△OMH∽△ONM,
∴当M点的坐标为(,﹣54)或(,)或(,﹣)时,以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似.
阅读下列材料:
已知:如图1,等边△A1A2A3内接于⊙O,点P是上的任意一点,连接PA1,PA2,PA3,可证:PA1+PA2=PA3,从而得到:是定值.
(1)以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整;
证明:如图1,作∠PA1M=60°,A1M交A2P的延长线于点M.
∵△A1A2A3是等边三角形,
∴∠A3A1A2=60°,
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1,∠A1A3P=∠A1A2P,
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.
∴,是定值.
(2)延伸:如图2,把(1)中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”,其余条件不变,请问:还是定值吗?为什么?
(3)拓展:如图3,把(1)中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”,其余条件不变,则= (只写出结果).
【解答】解:(1)如图1,作∠PA1M=60°,A1M交A2P的延长线于点M.
∵△A1A2A3是等边三角形,
∴∠A3A1A2=60°,
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1,∠A1A3P=∠A1A2P,
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2,
∵PM=PA1,
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.
∴,是定值.
(2)结论:是定值.
理由:在A4P上截取AH=A2P,连接HA1.
∵四边形A1A2A3A4是正方形,
∴A4A1=A2A1,
∵∠A1A4H=∠A1A2P,A4H=A2P,
∴△A1A4H=△A1A2P,
∴A1H=PA1,∠A4A1H=∠A2A1P,
∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°
∴△HA1P的等腰直角三角形,
∴PA4=A4+PH=PA2+PA1,
同法可证:PA3=PA1+PA2,
∴(+1)(PA1+PA2)=PA3+PA4,
∴PA1+PA2=(﹣1)(PA3+PA4),
∴=.
(3)结论:则=.
理由:如图3﹣1中,延长PA1到H,使得A1H=PA2,连接A4H,A4A2,A4A1.
由△HA4A1≌△PA4A2,可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形,
∴PH=PA4,即PA1+PA2=PA4,
如图3﹣2中,延长PA5到H,使得A5H=PA3.
同法可证:△A4HP是顶角为108°的等腰三角形,
∴PH=PA4,即PA5+PA3=PA4,
∴=.
故答案为.
【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、正五边形的性质、全等三角形的判定和性质等正整数,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB,OA所在直线为x轴,y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B,C重合),过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与边AC交于点E.
(1)当点F运动到边BC的中点时,求点E的坐标;
(2)连接EF,求∠EFC的正切值;
(3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求此时反比例函数的解析式.
【解答】解:(1)∵OA=3,OB=4,
∴B(4,0),C(4,3),
∵F是BC的中点,
∴F(4,),
∵F在反比例y=函数图象上,
∴k=4×=6,
∴反比例函数的解析式为y=,
∵E点的坐标为3,
∴E(2,3);
(2)∵F点的横坐标为4,
∴F(4,),
∴CF=BC﹣BF=3﹣=
∵E的纵坐标为3,
∴E(,3),
∴CE=AC﹣AE=4﹣=,
在Rt△CEF中,tan∠EFC==,
(3)如图,由(2)知,CF=,CE=,,
过点E作EH⊥OB于H,
∴EH=OA=3,∠EHG=∠GBF=90°,
∴∠EGH+∠HEG=90°,
由折叠知,EG=CE,FG=CF,∠EGF=∠C=90°,
∴∠EGH+∠BGF=90°,
∴∠HEG=∠BGF,
∵∠EHG=∠GBF=90°,
∴△EHG∽△GBF,
∴=,
∴,
∴BG=,
在Rt△FBG中,FG2﹣BF2=BG2,
∴()2﹣()2=,
∴k=,
∴反比例函数解析式为y=.
【点评】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,中点坐标公式,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,求出CE:CF是解本题的关键.
已知:如图,以等边△ABC的边BC为直径作⊙O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC交AC于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若等边△ABC的边长为8,求由、DF、EF围成的阴影部分面积.
【解答】解:(1)如图,连接CD、OD,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠CDB=90°,即CD⊥AB,
又∵△ABC是等边三角形,
∴AD=BD,
∵BO=CO,
∴DO是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,
∴DF是⊙O的切线;
(2)连接OE、作OG⊥AC于点G,
∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°,
∴四边形OGFD是矩形,
∴FG=OD=4,
∵OC=OE=OD=OB,且∠COE=∠B=60°,
∴△OBD和△OCE均为等边三角形,
∴∠BOD=∠COE=60°,CE=OC=4,
∴EG=CE=2、DF=OG=OCsin60°=2,∠DOE=60°,
∴EF=FG﹣EG=2,
则阴影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE
=×(2+4)×2﹣
=6﹣.
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质,等边三角形的性质,垂径定理等知识.判断直线和圆的位置关系,一般要猜想是相切,再证直线和半径的夹角为90°即可.注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长.
“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?
(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?
【解答】解:(1)设进价为x元,则标价是1.5x元,由题意得:
1.5x×0.9×8﹣8x=(1.5x﹣100)×7﹣7x,
解得:x=1000,
1.5×1000=1500(元),
答:进价为1000元,标价为1500元;
(2)设该型号自行车降价a元,利润为w元,由题意得:
w=(51+×3)(1500﹣1000﹣a),
=﹣(a﹣80)2+26460,
∵﹣<0,
∴当a=80时,w最大=26460,
答:该型号自行车降价80元出售每月获利最大,最大利润是26460元.
本卷还有20题,登录并加入会员即可免费使用哦~
该作品由: 用户李立分享上传
可圈可点是一个信息分享及获取的平台。不确保部分用户上传资料的来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系 可圈可点 ,我们核实后将及时进行处理。