如图,抛物线过、,直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为,点是线段AD上的动点.
求直线AD及抛物线的解析式;
过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?
在平面内是否存在整点横、纵坐标都为整数,使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.
解:把,代入函数解析式,得
,
解得,
抛物线的解析式为;
当时,,解得,
即.
设AD的解析式为,将,代入,得
,
解得,
直线AD的解析式为;
设P点坐标为,,
化简,得
配方,得
,
当时,;
且时,PQDR是平行四边形,
由得,
又PQ是正整数,
,或.
当时,,,即,
,即;
当时,,,即,
,即,
综上所述:R点的坐标为,,,使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形.
【解析】根据待定系数法,可得抛物线的解析式;根据自变量与函数值的对应关系,可得D点坐标,再根据待定系数法,可得直线的解析式;
根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;
根据PQ的长是正整数,可得PQ,根据平行四边形的性质,对边平行且相等,可得DR的长,根据点的坐标表示方法,可得答案.
本题考查了二次函数综合题,解的关键是待定系数法;解的关键是利用二次函数的性质;解的关键是利用且是正整数得出DR的长.
如图,已知,在的平分线OM上有一点C,将一个角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E.
当绕点C旋转到CD与OA垂直时如图,请猜想与OC的数量关系,并说明理由;
当绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,中的结论是否成立?并说明理由;
当绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
解:是的角平分线,
,
,
,
,
,
在中,,
同理:,
;
中结论仍然成立,理由:
过点C作于F,于G,
,
,
,
同的方法得,,,
,
,,且点C是的平分线OM上一点,
,
,,
,
≌,
,
,,
,
;
中结论不成立,结论为:,
理由:过点C作于F,于G,
,
,
,
同的方法得,,,
,
,,且点C是的平分线OM上一点,
,,,
,
≌,
,
,,
,
.
【解析】先判断出,再利用特殊角的三角函数得出,同,即可得出结论;
同的方法得,再判断出≌,得出,最后等量代换即可得出结论;
同的方法即可得出结论.
此题是几何变换综合题,主要考查了角平分线的定义和定理,全等三角形的判定和性质,特殊角的三角函数直角三角形的性质,正确作出辅助线是解本题的关键.
阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔年,纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉年才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:一般地,若,那么x叫做以a为底N的对数,记作:比如指数式可以转化为,对数式可以转化为.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:;理由如下:
设,,则,
,由对数的定义得
又
解决以下问题:
将指数转化为对数式______;
证明
拓展运用:计算______.
如图,在中,.
作出经过点B,圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明
设中所作的与边AB交于异于点B的另外一点D,若的直径为5,;求DE的长如果用尺规作图画不出图形,可画出草图完成问
如图,在中,,,;求AC和AB的长.
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