解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x²＋2(m－2)x＋3,
得－9＋6(m－2)＋3=0,
解得m=3,
则二次函数为y=－x²＋2x＋3,
∵y=－x²＋2x＋3=－(x－1)²＋4,
∴顶点D的坐标为(1,4);
(Ⅱ)把y=代入y=－x²＋2x＋3中,
得=－x²＋2x＋3,
解得x₁=－,x₂=,

又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),

结合图象知－≤a≤1.
当a=－时,1≤b≤,
当－＜a≤1时,b=;
(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,

当x=0时,y=3,

∴点C坐标为(0,3).
当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:
①如解图①,当DC=DP时,

由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,
∴点P坐标为(2,3);
②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P,

过点D作x轴的平行线交y轴于点H,

过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,
∵HD=HC=1,PC=PD,
∴HP是线段CD的垂直平分线.
∵HD=HC,HP⊥CD,
∴HP平分∠MHN,
∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N,
∴PM=PN.
设P(m,－m²＋2m＋3),

则m=4－(－m²＋2m＋3),解得m=,
∴点P的坐标为(,)(解图中未标记此点)或(,);
③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.     
综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(,)或(,).

    图①           图②         图③

解:(Ⅰ)∵m=1,c=1,

∴抛物线的解析式为y=ax²＋bx＋1(a<0)过(1,b),(2,a)两点,

∴,

解得,

∴抛物线的解析式为y=－x²＋x＋1;

(Ⅱ)依题意得,

由②－①得b=－am,

∵b≥a,

∴－am≥a,

∵a＜0,

∴m≥－1;

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=－am,

代入①得am²－am²＋c=b,

∴c=b=－am,

∵b≥a,m＜0,

∴－1≤m＜0,

∵二次函数y=ax²＋bx＋c有最大值－2,

∴=－2,

∴=m²＋4m,

∴= (m＋2)²－4,

∵－1≤m＜0,

∴－3≤(m＋2)²－4＜0,

∴a≤－,

∴a的最大值为－.

解:(Ⅰ)由抛物线的对称轴公式可得x===m,

∴抛物线的对称轴为直线x=m;

(Ⅱ)当x=0时,y=mx²－2m²x＋2=2,
∴点A(0,2).
∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,
∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,
∴m=2,
∴抛物线的解析式为y=2x²－8x＋2;
(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,
∵A(0,2),
∴要使0≤x_p≤4时,始终满足y_p≤2,只需使抛物线y=mx²－2m²x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.
∴m≥2;
当m＜0时,如解图②,
m＜0时,y_p≤2恒成立.
综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.

           第3题解图

解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax²＋bx＋c的顶点为(2,5),
∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)²＋5,
把(0,1)代入得:a(0－2)²＋5=1,
a=－1,
∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)²＋5=－x²＋4x＋1;
(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3,

∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)²＋5=－4,

当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,
∴y的取值范围是－4≤y≤5;
(Ⅲ)∵n²－4n＋6=(n－2)²＋2≥2,－n²＋n＋=－(n－)²＋2≤2,

∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,
∵N(－n²＋n＋,y₂),

∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n²－n＋,y₂),

∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,

∴①当n²－4n＋6＞n²－n＋时,即n＜时,y₁＜y₂;

②当n²－4n＋6=n²－n＋时,即n=时,y₁=y₂;

③当n²－4n＋6＜n²－n＋时,即n＞时,y₁＞y₂.

解:(Ⅰ)把点(0,－)代入抛物线,得:c=－;
(Ⅱ)把点(0,－)代入直线得:n=－.
把点(m－b,m²－mb＋n)代入抛物线,得:
a(m－b)²＋b(m－b)＋c=m²－mb＋n
∵c=n=－,
∴a(m－b)²＋b(m－b)=m²－mb,
am²－2abm＋ab²＋bm－b²－m²＋mb=0,
(a－1)m²－(a－1)•2bm＋(a－1)b²=0,
(a－1)(m²－2bm＋b²)=0,
(a－1)(m－b)²=0,
若m－b=0,则(m－b,m²－mb＋n)与(0,－)重合,与题意不合,

∴a=1,
∵抛物线y=ax²＋bx＋c=x²＋bx－,b²－4ac=b²－4×

(－)=b²＋2＞0,

∴抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴有两个交点;
(Ⅲ)y=x²＋bx－,顶点(－,－－),

设抛物线y=x²＋bx－在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h,
①当－＜－1时,即b＞2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y₀),

∴|H|=y₀=＋b＞,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y₀),
∴|h|=|y₀|=|－b|=b－＞,
∴|H|＞|h|,
∴这时|y₀|的最小值大于,
②当－1≤－≤0时,即0≤b≤2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y₀),
∴|H|=y₀=＋b≥,当b=0时等号成立,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(－,－－),
∴|h|=|－－|=≥,
当b=0时等号成立,
∴这时|y₀|的最小值等于,
③当0＜－≤1,即－2≤b＜0时,
在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y₀),
∴|H|=y₀=|1＋(－1)b－|=|－b|=－b＞,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(－,－－),
∴|h|=|y₀|=|－－|=＞,
∴这时|y₀|的最小值大于;
④当1＜－时,即b＜－2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y₀),
∴|H|=－b＞,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y₀),
∴|h|=|＋b|=－(b＋)＞,
∴|H|＞|h|,
∴这时|y₀|的最小值大于,
综上所述:当b=0,x₀=0时,这时|y₀|取最小值为.