如图,AB是⊙O的直径,点D是上的一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BD平分∠ABE,延长ED、BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长.
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∵∠BDE=∠EAB,∠BDE=∠CBE,
∴∠EAB=∠CBE,
∴∠ABE+∠CBE=90°,
∴CB⊥AB,
∵AB是⊙O的直径,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:∵BD平分∠ABE,
∴∠ABD=∠DBE,
如解图,连接DO,
第1题解图
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∵∠EBD=∠OBD,
∴∠EBD=∠ODB,
∴OD∥BE,
∴=,
∵PA=AO,
∴PA=AO=OB,
∴=,
∴=,
∴=,
∵DE=2,
∴PD=4.
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若AE=4,cosA=,求DF的长.
(1)证明:如解图,连接OD,
G
第2题解图
∵OB=OD,
∴∠ODB=∠B,
又∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=90°,
∴∠ODF=∠DFC=90°,
∵OD是⊙O的半径,
∴DF是⊙O的切线;
(2)解:如解图,过点O作OG⊥AC,垂足为G,
∴AG=AE=2.
∵cosA===,
∴OA=5,
∴OG==,
∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,
∴四边形OGFD为矩形,
∴DF=OG=.
如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB于点E,AM⊥BC于点M,交CD于点N,连接AD.
(1)求证:AD=AN;
(2)若AB=4,ON=1,求⊙O的半径.
(1)证明:∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角,
∴∠BAD=∠BCD,
∵AE⊥CD,AM⊥BC,
∴∠AEN=∠AMC=90°,
∵∠ANE=∠CNM,
∴∠BAM=∠BCD,
∴∠BAM=∠BAD,
在△ANE与△ADE中,
,
∴△ANE≌△ADE(ASA),
∴AN=AD;
(2)解:∵AB=4,AE⊥CD,
∴AE=AB=2,
又∵ON=1,
∴设NE=x,则OE=x-1,NE=ED=x,OD=OE+ED=2x-1,
如解图,连接AO,则AO=OD=2x-1,
第3题解图
∵△AOE是直角三角形,AE=2,OE=x-1,AO=2x-1,
∴(2)2+(x-1)2=(2x-1)2,
解得x1=2,x2=-(舍),
∴AO=2x-1=3,
即⊙O的半径为3.
如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连接EF.
(1)求证:∠1=∠F;
(2)若sinB=,EF=2,求CD的长.
(1)证明:如解图,连接DE.
第4题解图
∵BD是⊙O的直径,
∴∠DEB=90°.
∵E是AB的中点,
∴DA=DB,
∴∠1=∠B.
∵∠B=∠F,
∴∠1=∠F;
(2)解:∵∠1=∠F,
∴AE=EF=2,
∴AB=2AE=4.
在Rt△ABC中,AC=AB·sinB=4,
∴BC==8.
设CD=x,则AD=BD=8-x.
在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,
即42+x2=(8-x)2,
解得x=3,
∴CD=3.
如图,直线DP和⊙O相切于点C,交直径AE的延长线于点P,过点C作AE的垂线,交AE于点F,交⊙O于点B,作ABCD,连接BE,DO,CO.
(1)求证:DA=DC;
(2)求∠P及∠AEB的度数.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵CB⊥AE,
∴AD⊥AE,
∴∠DAO=90°,
又∵直线DP和⊙O相切于点C,
∴DC⊥OC,
∴∠DCO=90°,
∴在Rt△DAO和Rt△DCO中,
,
∴Rt△DAO≌Rt△DCO(HL),
∴DA=DC;
(2)解:∵CB⊥AE,AE是⊙O的直径,
∴CF=FB=BC,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∴CF=AD,
又∵CF∥DA,
∴△PCF∽△PDA,
∴==,即PC=PD,DC=PD.
由(1)知DA=DC,
∴DA=PD,
∴在Rt△DAP中,∠P=30°.
∵DP∥AB,
∴∠FAB=∠P=30°,
又∵∠ABE=90°,
∴∠AEB=90°-30°=60°.
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