已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CD,CG⊥AD于点H,交AB于点G,E为AB上一点,连接CE交AD于点F.
(1)如图1,若CE⊥AB于点E,HG=1,CH=5,求CF的长;
(2)如图2,若AC=AE,∠GEH=∠ECH,求证:CE=HE;
(3)如图3,若E为AB的中点,作A关于CE的对称点A′,连接CA′,EA′,DA′,请直接写出∠CEH,∠A′CD,∠EA′D之间的等量关系.
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,CA=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴∠CAD=∠CDA=45°,
∵CG⊥AD,
∴∠CHF=∠AHG=90°,∠ACH=∠DCH=∠ACB=×90°=45°,AH=DH=CH=5,
∴∠GAH+∠AGC=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠CEG=90°,
∴∠GCE+∠AGC=90°,
∴∠GCE=∠GAH,
在△CHF与△AHG中,,
∴△CHF≌△AHG,
∴HF=HG=1,
∴CF===;
(2)如图2,过H作MH⊥EH,交CE于M,连接AM,
∵AC=AE,
∴∠AEC=∠ACE,
∵∠GEH=∠ECG,
∵MH⊥EH,
∴△EHM为等腰直角三角形,∠EHM=90°,
∴EH=MH,EM=HE,
∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE,
在△AHM与△CHE中,,
∴△AHM≌△CHE,
∴∠MAF=∠ECH,
∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°,
∴∠CHD=180°﹣90°,
∴AM⊥CE,
∵AC=AE,
∴△ACE是等腰三角形,
∴CM=EM=HE,
∴CE=2EM=2HE;
(3)∵H为AD的中点,E我AB的中点,
∴EH是△ABD的中位线,
∴EH∥BC,
∴∠CEH=∠BCE,
∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE=90°﹣∠CEH,
∵EC=AE,
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,
∵A关于CE的对称点A′,
∴∠CA′E=∠CAE=90°﹣∠CEH,CA=CA′,
∵CA=CD,
∴CA′=CD,
∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°﹣∠CEH+∠EA′D,
∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°,
∴∠A′CD+90°﹣∠CEH+∠EA′D+90°﹣∠CEH+∠EA′D=180°,
化简得:∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH,
如图1,抛物线y=﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标;
(2)连接CD,点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合),过P作PE∥x轴交直线AC于点E,作PF∥CD交直线AC于点F,当线段PE+PF取最大值时,在抛物线对称轴上找一点L,在y轴上找一点K,连接OL,LK,PK,求线段OL+LK+PK的最小值,并求出此时点L的坐标.
(3)如图2,点M(﹣2,﹣1)为抛物线对称轴上一点,点N(2,7)为直线AC上一点,点G为直线AC与抛物线对称轴的交点,连接MN,AM.点H是线段MN上的一个动点,连接GH,将△MGH沿GH翻折得到△M′GH(点M的对称点为M′),问是否存在点H,使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形,若存在,请求出NH的长,若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)令y=0,则﹣x2﹣4x+5=0,解得x=﹣5或1,
∴A(﹣5,0),B(1,0),
令x=0,则y=5,
∴C(0,5),
设直线AC解析式为y=kx+b,则有,解得,
∴直线AC解析式为y=x+5.
∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣(x+2)2+9,
∴顶点D坐标(﹣2,9).
(2)(方法一)如图1中,连接PC、PA,作PT⊥AC于T.
∵点P在运动过程中,∠PEF,∠PFE是不变的,
∴当高PT最大时,PE、PF最大,即PE+PF最大,此时△PAC的面积最大,设P(m,﹣m2﹣4m+5),
∵S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△AOC=×5×(﹣m2﹣4m+5)+×5×(﹣m)﹣×5×5=﹣m2﹣m=﹣(m+)2+,
∵﹣<0,
∴m=﹣时,△PAC面积最大,此时P(﹣,),
方法二,设对称轴交AC于H,作PG∥y轴交AC于G.
∵A(﹣5,0),C(0,5),
∴直线AC的解析式为y=x+5,
设P(m,﹣m2﹣4m+5),则G(m,m+5),易知PG=PE=﹣m2﹣4m+5﹣m﹣5=﹣m2﹣5m,
∵CD==2,DH=6,
由△PFG∽△DCH,得=,即=,
∴PF=﹣m2﹣m,
∴PE+PF=﹣(1+)m2﹣(5+)m,
∵﹣(1+)<0,
∴m=﹣=﹣时,PE+PF的值最大.此时P(﹣,),
作点O关于对称轴的对称点O′,O′关于y轴的对称点O″,连接PO″交y轴于K,连接O′K交对称轴于L.此时OL+LK+PK最短.
理由:∵LO=LO′,KO′=KO″,
∴LO+LK+PK=(LO′+KL)+PL=KO′+PK=KO″+PK=PO″,
∴LO+LK+PK最短.(两点之间线段最短),此时最小值==.
∵O″(4,0),
∴可得直线PO″的解析式为y=﹣x+,
∴点K坐标(0,),∵O′(﹣4,0),
∴直线O′K解析式为:y=x+,
∵x=﹣2时,y=,
∴点L坐标(﹣2,).
(3)存在.
①如图2中,重叠部分是△GHT,当∠GHT=90°时,
∵M(﹣2,﹣1),N(2,7),
∴可得直线MN的解析式为y=2x+3,
∵G(﹣2,),GH⊥MN,
∴可得直线GH的解析式为y=﹣x+,
由解得,
∴点H坐标(﹣,),
∴NH==.
②如图3中,重叠部分是△GHT,当∠GTH=90°时,作HE⊥GM于E.
∵∠HGT=∠HGE,HT⊥GT,HE⊥GE,
∴HT=HE,设HT=HE=x,
由①可知,GT=GE==,TM=,MN=4,
由△MEH∽△MTG,得到, =,
∴=,
∴MH=﹣,
∴HN=MN﹣MH=+.
③如图4中,重叠部分是△GHT,当∠GTH=90°时,作GF⊥MN于F.
由②可知,GF=GT=,FN=,GN==,
由△NTH∽△NFG得=,
∴=,
∴NH=﹣.
当一个多位数位数为偶数时,在其中间位插入一位数k,(0≤k≤9,且k为整数)得到一个新数,我们把这个新数称为原数的关联数.如:435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729,其中435729=729+435×1000,4356729=729+6×1000+435×10000.
请阅读以上材料,解决下列问题.
(1)若一个三位关联数是原来两位数的9倍,请找出满足这样的三位关联数;
(2)对于任何一个位数为偶数的多位数,中间插入数字m,得其关联数(0≤m≤9,且m为3的倍数),试证明:所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除.
【解答】(1)解:设原数为ab=10a+b,其关联数为amb=100a+10m+b,
∵amb=9ab,
∴100a+10m+b=9×(10a+b),
∴5a+5m=4b,
∴5(a+m)=4b,
∵b、m为整数,a为正整数,且a、b、m均为一位数,
∴b=5,a+m=4,
∴a=1,m=3;a=2,m=2;a=3,m=1;a=4,b=0.
∴满足条件的三位关联数为135、225、315和405.
(2)证明:设原数为a1a2a3…an﹣2an﹣1an(n为偶数),关联数为a1a2a3…m…an﹣2an﹣1an,
原数10倍为a1a2a3…an﹣2an﹣1an0,
将关联数与原数10倍相减得:m•﹣9×(…an﹣1an),
∵m和9均为3的倍数,
∴关联数与原数10倍的差一定能被3整除.
某山区中学为建立阅览室,需筹集30000元资金用于购买书桌、书架等设施和图书.
(1)学校计划,购买图书的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的1倍,问最多用多少资金购买书桌、书架等设施;
(2)经初步统计,毕业于此学校的校友中有300人自愿集资,那么平均每人需集资100元,乡政府了解情况后,赠送了一批阅览室设施和图书,这样只需共集资20000元.经过进一步宣传,自愿集资的校友在300人的基础上增加了a%,则平均每人集资在100元的基础上减少了,求a的值.
【解答】解:(1)设购买书桌、书架等设施的资金为x元,根据题意得:
30000﹣x≥2x,
解得:x≤10000,
答:最多用10000元购买书桌、书架等设施;
(2)根据题意,得:(1+a%)300×(1﹣)×100=20000,
解得:a%=0.5=50%或a%=﹣0.6(舍),
即a=50.
如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,与x轴、y轴交于点C、D两点,点B的横坐标为1,OC=OD,点P
在反比例函数图象上且到x轴、y轴距离相等.
(1)求一次函数的解析式;
(2)求△APB的面积.
【解答】解:(1)过点B作BE⊥OD,垂足为E,则
由BE∥CO,可得△BDE∽△CDO
∵OC=OD
∴BE=DE
又∵点B的横坐标为1,且B在反比例函数的图象上
∴B(1,﹣4),即BE=1,OE=4
∴OD=4﹣1=3=OC,
即C(﹣3,0),D(0,﹣3)
将C、D的坐标代入一次函数y=kx+b(k≠0),可得
,解得
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣3
(2)过点P作y轴的平行线,交直线AB于点F,则S△APB=S△APF+S△PFB
∵点P在反比例函数的图象上,且到x轴、y轴距离相等
∴P(﹣2,2)
在y=﹣x﹣3中,当x=﹣2时,y=﹣1,即F(﹣2,﹣1)
∴PF=2﹣(﹣1)=3
解方程组,可得,
∴A(﹣4,1)
∴△APF中PF边上的高为2,△BPF中PF边上的高为3
∴S△APB=S△APF+S△PFB=×3×2+×3×3=3+4.5=7.5
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