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2016重庆人教版初中数学中考模拟127464
2016重庆人教版初中数学中考模拟127464
初中
整体难度:中等
2017-08-03
题号
评分
一、综合题 (共2题)
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1.

已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CD,CG⊥AD于点H,交AB于点G,E为AB上一点,连接CE交AD于点F.

(1)如图1,若CE⊥AB于点E,HG=1,CH=5,求CF的长;

(2)如图2,若AC=AE,∠GEH=∠ECH,求证:CE=HE;

(3)如图3,若E为AB的中点,作A关于CE的对称点A′,连接CA′,EA′,DA′,请直接写出∠CEH,∠A′CD,∠EA′D之间的等量关系.

难度:
知识点:勾股定理
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【答案】

【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,CA=CD,

∴△ACD是等腰直角三角形,

∴∠CAD=∠CDA=45°,

∵CG⊥AD,

∴∠CHF=∠AHG=90°,∠ACH=∠DCH=∠ACB=×90°=45°,AH=DH=CH=5,

∴∠GAH+∠AGC=90°,

∵CE⊥AB,

∴∠CEG=90°,

∴∠GCE+∠AGC=90°,

∴∠GCE=∠GAH,

在△CHF与△AHG中,

∴△CHF≌△AHG,

∴HF=HG=1,

∴CF===

(2)如图2,过H作MH⊥EH,交CE于M,连接AM,

∵AC=AE,

∴∠AEC=∠ACE,

∵∠GEH=∠ECG,

∵MH⊥EH,

∴△EHM为等腰直角三角形,∠EHM=90°,

∴EH=MH,EM=HE,

∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE,

在△AHM与△CHE中,

∴△AHM≌△CHE,

∴∠MAF=∠ECH,

∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°,

∴∠CHD=180°﹣90°,

∴AM⊥CE,

∵AC=AE,

∴△ACE是等腰三角形,

∴CM=EM=HE,

∴CE=2EM=2HE;

(3)∵H为AD的中点,E我AB的中点,

∴EH是△ABD的中位线,

∴EH∥BC,

∴∠CEH=∠BCE,

∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE=90°﹣∠CEH,

∵EC=AE,

∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,

∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,

∵A关于CE的对称点A′,

∴∠CA′E=∠CAE=90°﹣∠CEH,CA=CA′,

∵CA=CD,

∴CA′=CD,

∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°﹣∠CEH+∠EA′D,

∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°,

∴∠A′CD+90°﹣∠CEH+∠EA′D+90°﹣∠CEH+∠EA′D=180°,

化简得:∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH,

2.

如图1,抛物线y=﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.

(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标;

(2)连接CD,点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合),过P作PE∥x轴交直线AC于点E,作PF∥CD交直线AC于点F,当线段PE+PF取最大值时,在抛物线对称轴上找一点L,在y轴上找一点K,连接OL,LK,PK,求线段OL+LK+PK的最小值,并求出此时点L的坐标.

(3)如图2,点M(﹣2,﹣1)为抛物线对称轴上一点,点N(2,7)为直线AC上一点,点G为直线AC与抛物线对称轴的交点,连接MN,AM.点H是线段MN上的一个动点,连接GH,将△MGH沿GH翻折得到△M′GH(点M的对称点为M′),问是否存在点H,使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形,若存在,请求出NH的长,若不存在,请说明理由.

 

难度:
知识点:二次函数与一元二次方程
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【答案】

【解答】解:(1)令y=0,则﹣x2﹣4x+5=0,解得x=﹣5或1,

∴A(﹣5,0),B(1,0),

令x=0,则y=5,

∴C(0,5),

设直线AC解析式为y=kx+b,则有,解得

∴直线AC解析式为y=x+5.

∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣(x+2)2+9,

∴顶点D坐标(﹣2,9).

(2)(方法一)如图1中,连接PC、PA,作PT⊥AC于T.

∵点P在运动过程中,∠PEF,∠PFE是不变的,

∴当高PT最大时,PE、PF最大,即PE+PF最大,此时△PAC的面积最大,设P(m,﹣m2﹣4m+5),

∵S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△AOC=×5×(﹣m2﹣4m+5)+×5×(﹣m)﹣×5×5=﹣m2m=﹣(m+2+

∵﹣<0,

∴m=﹣时,△PAC面积最大,此时P(﹣),

方法二,设对称轴交AC于H,作PG∥y轴交AC于G.

∵A(﹣5,0),C(0,5),

∴直线AC的解析式为y=x+5,

设P(m,﹣m2﹣4m+5),则G(m,m+5),易知PG=PE=﹣m2﹣4m+5﹣m﹣5=﹣m2﹣5m,

∵CD==2,DH=6,

由△PFG∽△DCH,得=,即=

∴PF=﹣m2m,

∴PE+PF=﹣(1+)m2﹣(5+)m,

∵﹣(1+)<0,

∴m=﹣=﹣时,PE+PF的值最大.此时P(﹣),

作点O关于对称轴的对称点O′,O′关于y轴的对称点O″,连接PO″交y轴于K,连接O′K交对称轴于L.此时OL+LK+PK最短.

理由:∵LO=LO′,KO′=KO″,

∴LO+LK+PK=(LO′+KL)+PL=KO′+PK=KO″+PK=PO″,

∴LO+LK+PK最短.(两点之间线段最短),此时最小值==

∵O″(4,0),

∴可得直线PO″的解析式为y=﹣x+

∴点K坐标(0,),∵O′(﹣4,0),

∴直线O′K解析式为:y=x+

∵x=﹣2时,y=

∴点L坐标(﹣2,).

(3)存在.

①如图2中,重叠部分是△GHT,当∠GHT=90°时,

∵M(﹣2,﹣1),N(2,7),

∴可得直线MN的解析式为y=2x+3,

∵G(﹣2,),GH⊥MN,

∴可得直线GH的解析式为y=﹣x+

解得

∴点H坐标(﹣),

∴NH==

②如图3中,重叠部分是△GHT,当∠GTH=90°时,作HE⊥GM于E.

∵∠HGT=∠HGE,HT⊥GT,HE⊥GE,

∴HT=HE,设HT=HE=x,

由①可知,GT=GE==,TM=,MN=4

由△MEH∽△MTG,得到, =

=

∴MH=

∴HN=MN﹣MH=+

③如图4中,重叠部分是△GHT,当∠GTH=90°时,作GF⊥MN于F.

由②可知,GF=GT=,FN=,GN==

由△NTH∽△NFG得=

=

∴NH=

二、解答题 (共6题)
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1.

当一个多位数位数为偶数时,在其中间位插入一位数k,(0≤k≤9,且k为整数)得到一个新数,我们把这个新数称为原数的关联数.如:435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729,其中435729=729+435×1000,4356729=729+6×1000+435×10000.

请阅读以上材料,解决下列问题.

(1)若一个三位关联数是原来两位数的9倍,请找出满足这样的三位关联数;

(2)对于任何一个位数为偶数的多位数,中间插入数字m,得其关联数(0≤m≤9,且m为3的倍数),试证明:所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除.

难度:
知识点:实际问题与二元一次方程组
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【答案】

【解答】(1)解:设原数为ab=10a+b,其关联数为amb=100a+10m+b,

∵amb=9ab,

∴100a+10m+b=9×(10a+b),

∴5a+5m=4b,

∴5(a+m)=4b,

∵b、m为整数,a为正整数,且a、b、m均为一位数,

∴b=5,a+m=4,

∴a=1,m=3;a=2,m=2;a=3,m=1;a=4,b=0.

∴满足条件的三位关联数为135、225、315和405.

(2)证明:设原数为a1a2a3…an﹣2an﹣1an(n为偶数),关联数为a1a2a3…m…an﹣2an﹣1an

原数10倍为a1a2a3…an﹣2an﹣1an0,

将关联数与原数10倍相减得:m﹣9×(…an﹣1an),

∵m和9均为3的倍数,

∴关联数与原数10倍的差一定能被3整除.

2.

某山区中学为建立阅览室,需筹集30000元资金用于购买书桌、书架等设施和图书.

(1)学校计划,购买图书的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的1倍,问最多用多少资金购买书桌、书架等设施;

(2)经初步统计,毕业于此学校的校友中有300人自愿集资,那么平均每人需集资100元,乡政府了解情况后,赠送了一批阅览室设施和图书,这样只需共集资20000元.经过进一步宣传,自愿集资的校友在300人的基础上增加了a%,则平均每人集资在100元的基础上减少了,求a的值.

难度:
知识点:实际问题与一元二次方程
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【答案】

【解答】解:(1)设购买书桌、书架等设施的资金为x元,根据题意得:

30000﹣x≥2x,

解得:x≤10000,

答:最多用10000元购买书桌、书架等设施;

(2)根据题意,得:(1+a%)300×(1﹣)×100=20000,

解得:a%=0.5=50%或a%=﹣0.6(舍),

即a=50.

3.

如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,与x轴、y轴交于点C、D两点,点B的横坐标为1,OC=OD,点P

在反比例函数图象上且到x轴、y轴距离相等.

(1)求一次函数的解析式;

(2)求△APB的面积.

难度:
知识点:反比例函数
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【答案】

【解答】解:(1)过点B作BE⊥OD,垂足为E,则

由BE∥CO,可得△BDE∽△CDO

∵OC=OD

∴BE=DE

又∵点B的横坐标为1,且B在反比例函数的图象上

∴B(1,﹣4),即BE=1,OE=4

∴OD=4﹣1=3=OC,

即C(﹣3,0),D(0,﹣3)

将C、D的坐标代入一次函数y=kx+b(k≠0),可得

,解得

∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣3

(2)过点P作y轴的平行线,交直线AB于点F,则S△APB=S△APF+S△PFB

∵点P在反比例函数的图象上,且到x轴、y轴距离相等

∴P(﹣2,2)

在y=﹣x﹣3中,当x=﹣2时,y=﹣1,即F(﹣2,﹣1)

∴PF=2﹣(﹣1)=3

解方程组,可得

∴A(﹣4,1)

∴△APF中PF边上的高为2,△BPF中PF边上的高为3

∴S△APB=S△APF+S△PFB=×3×2+×3×3=3+4.5=7.5

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试题总数:
27
总体难度:
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
15
55.55%
容易
11
40.74%
偏难
1
3.70%
题型统计
大题类型
数量
占比
综合题
2
7.40%
解答题
6
22.22%
计算题
2
7.40%
填空题
5
18.51%
选择题
12
44.44%
知识点统计
知识点
数量
占比
勾股定理
1
3.70%
实际问题与二元一次方程组
1
3.70%
实际问题与一元二次方程
1
3.70%
反比例函数
1
3.70%
分式的运算
2
7.40%
乘法公式
1
3.70%
统计调查
2
7.40%
三角形全等的判定
1
3.70%
特殊的平行四边形
3
11.11%
课题学习 选择方案
1
3.70%
随机事件与概率
1
3.70%
点和圆、直线和圆的位置关系
1
3.70%
有理数的乘方
1
3.70%
分式方程
1
3.70%
解直角三角形与其应用
1
3.70%
整式的加减
1
3.70%
整式的乘法
1
3.70%
平行线的性质
1
3.70%
相似三角形
1
3.70%
二次根式
1
3.70%
中心对称
1
3.70%
有理数
1
3.70%
二次函数与一元二次方程
1
3.70%
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