若△ABC和△DEF的面积分别为、.
(1)如图①,AC=DF,BC=DE,∠C=30°,∠D=150°,比较S1与S2的大小
为 ;
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.不能确定
(2)说明(1)的理由.
(3)如图②,在△ABC与△DEF中,AC=DF,BC=DE,∠C=30°,点E在以D为圆心,DE长为半径的半圆上运动,∠EDF的度数为α,比较S1与S2的大小(直接写出结果,不用说明理由).
(1)C
(2)作BM⊥AC垂足为M,作EN⊥DF,垂足为N,
∠BMC=∠END=90°,∠C=∠EDN=30°,BC=ED.
∴△BMC≌△END.
∴BM=EN.
又∵AC=DF,
∴S1=S2.
(3)
Ⅰ.当α<30° 、 150°<α<180°时S1<S2;
Ⅱ.当α=30° 、 α=150°时S1=S2;
Ⅲ.当30°<α<150°时,S1>S2.
如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD为高. (从下列问题中任选一问作答)
(1)若∠ABD+∠C=120°,求∠A的度数;
(2)若CD=3,BC=5,求△ABC的面积 .
(1)解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C. .
设∠ABD=x°,
则∠A=(90-x)°,∠C=(120-x)°.
在△ABC中:∠A+∠C+∠ABC=180°.
即90-x +2(120-x)=180,
解得x=50°
则∠A=90-x=40°.
(2)∵BD为高. ∴△ADC为直角三角形. ∵BD=4,BC=5,∴CD=3.
设AD为x,则AB=AC=3+x,
在直角三角形△ADB中,AD2+BD2=AB2
即,x2+42=(x+3)2,解得x=
S△ABC=AC×BD×=.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,AD为△ABC角平分线.
(1)用圆规在AB上作一点P,满足DP⊥AB;
(2)求:CD的长度.
(1)以A为圆心,AC为半径画弧交,AB于点P.或过点D作AB的垂线,垂足为P.……2分
(2)解:作DP⊥AB,垂足为P,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,又∵DC⊥AC、DP⊥AB,∴∠C=∠APD.
又∵AD=AD,
∴△ACD≌APD.(也可以截取AP=AC,用SAS)
∴AP=AC=4,CD=PD
在在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=5.
设DP为x,则DP=x,BD=3-x,在Rt△DPB中,∠DPB=90°,
∴ DP2+PB2=DB2,即,x2+12=(3-x)2,
解得x=.
如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB中点, DE⊥DF.
(1)写出图中所有全等三角形,分别为 .(用“≌”符号表示)
(2)求证:ED=DF.,
(1)△AED≌△CFD ;△CED≌△BFD;△ACD≌△BCD或△ACD≌△CBD
(2)证明:∵AC=BC,AD=BD,
∴∠CDA=90°,∠FCD=45°
∴AD=CD
∵∠CDA=∠ADE+∠EDC,
∠EDF=∠CDF+∠EDC.
∵∠EDF=∠CDA=90°,∴∠ADE=∠CDF.
∵∠ADE=∠CDF、AD=CD、∠FCD=∠A=45°.
△AED≌△CFD
∴DE=DF
如图, AC=AB,DC=DB,AD与BC相交于O.
(1)求证:△ACD≌△ABD;
(2)求证:AD垂直平分BC.
(1)证明:∵AB=AC、AD=AD、DC=DB.
∴△ACD≌△ABD
(2)方法一∵△ACD≌△ABD
∴∠BAO=∠CAO
又∵AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形
∴AO⊥BC、CO=BO.
∴AD垂直平分BC.
方法二 ∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上
∵DC=DB,
∴点D在BC的垂直平分线上
∴AD垂直平分BC.
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