【考点】反比例函数综合题．

【分析】问题1：根据阅读1、2给定内容可知：当x=，x+有最小值，解方程求出x的值，代入x+≥2即可得出结论；

问题2：根据给定y₁、y₂找出=（x+1）+，由阅读材料可知当x+1=时，有最小值，解方程求出x的值，再代入x+≥2即可得出结论．

【解答】解：问题1：∵矩形的一边长为x，另一边长为，

∴x＞0．

令x=，解得：x=2，

∴x=2时，x+有最小值为2×=4，

∴当x=2时，周长的最小值为2×4=8．

故答案为：2；8．

问题2：∵函数y₁=x+1（x＞﹣1），函数y₂=x²+2x+10（x＞﹣1），

∴==（x+1）+，

∵x＞﹣1，

∴x+1＞0．

令x+1=，解得：x=2，或x=﹣4（舍去），

∴当x=2时，（x+1）+有最小值为2×=6．

【点评】本题考查了反比例的综合应用，解题的关键是根据阅读材料的结论“x+≥2，所以当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2”解决问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据阅读材料给出的结论解决问题是关键．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据单价乘以数量，可得函数解析式；

（2）分类讨论，根据消费的多少，可得不等式，根据解不等式，可得答案．

【解答】解；（1）甲商场写出y关于x的函数解析式y₁=0.85x，

乙商场写出y关于x的函数解析式y₂=200+（x﹣200）×0.75=0.75x+50；

（2）由y₁＞y₂，得0.85x＞0.75x+50，

x＞500，

当x＞500时，到乙商场购物会更省钱；

由y₁=y₂得0.85x=0.75x+50，

x=500时，到两家商场去购物花费一样；

由y₁＜y₂，得0.85x＜0.75x+500，

x＜500，

当x＜500时，到甲商场购物会更省钱；

综上所述：x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．

【点评】本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键．

【考点】三角形中位线定理．

【分析】构造平行四边形来证明三角形的中位线定理．

【解答】解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

理由：如图，延 长DE 到 F，使EF=DE，连 结CF、DC、AF

∵AE=CE DE=EF

∴四边形ADCF为平行四边形

∴AD∥CF，AD=CF

∵AD=BD，

∴BD∥CF，BD=CF，

∴四边形BCFD为平行四边形

∴BC∥DF，BC=DF

∴DE∥BC 且 DE=BC

【点评】此题是三角形中位线定理，主要考查了平行四边形的性质和判定，解本题的关键是构造平行四边形．

【考点】菱形的判定．

【专题】证明题．

【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．

【解答】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD．

又∵AE∥BF，∴∠BCA=∠CAD，

∴∠BAC=∠BCA．

∴AB=BC，

同理可证AB=AD．

∴AD=BC，

又AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又AB=BC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

【点评】此题主要考查了菱形的判定以及综合利用了角平分线的定义和平行线的性质，利用已知得出AB=BC是解题关键．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．

【分析】由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC²+DA²=CD²，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD．

【解答】解：如右图所示，连接AC，

∵∠B=90°，AB=BC=2，

∴AC==2，∠BAC=45°，

又∵CD=3，DA=1，

∴AC²+DA²=8+1=9，CD²=9，

∴AC²+DA²=CD²，

∴△ACD是直角三角形，

∴∠CAD=90°，

∴∠DAB=45°+90°=135°．

故∠DAB的度数为135°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．