如图,在以O为圆点的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC与大圆相交于点D,且OC平分。
(1)试判断AC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由?
(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系,并说明理由?
(3)若,求大圆与小圆围成的圆环的面积。(结果保留)
解:
( l ) BC 所在直线与小圆相切
理由如下:过圆心O 作OE⊥BC ,垂足为E
∵AC 是小圆的切线,AB经过圆心O
∴OA⊥AC, 又∵CO 平分∠ACB , OE⊥BC ∴OE=OA
∴BC 所在直线是小圆的切线.
( 2 ) AC + AD=BC
理由如下:连接OD
∵AC 切小圆O 于点A ,BC切小圆O 于点E .
∴CE=CA
∵在Rt△OAD 与Rt△OEB 中
OA=OE , OD=OB , ∠OAD=∠OEB =90º
∴Rt△OAD≌Rt△OEB (HL)∴EB =AD
∵BC=CE+EB ∴BC=AC + AD
( 3 )∵∠BAC=90º,
∴
∵∴
∵圆环的面积
又∵,∴
红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表:
时间t(天) | 1 | 3 | 8 | 10 | .6 | …… |
日销售m(件) | 94 | 90 | 84 | 75 | 24 | …… |
未来40天内,前20天每天的价格(元/件)与时间t(天)的函数关系式为
且t为整数,后20天每天的价格(元/件)与时间t(天)的函数关系式为且t为整数,下面我们就来研究销售这种商品的有关问题:
(1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的(件)与(天)之间的函数关系式;
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润()给希望工程,公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间(天)的增大而增大,求的取值范围。
解:(1)将 和代入一次函数中,有,
∴,∴
经检验.其它点的坐标均适合以上解析式.
故所求函数解析式为。
( 2 )设前20 天日销售利润为元.后20 天日销售利润为元
由
∵,∴当时,有最大值578(元)。
由
∵且对称轴为,∴函数在上随的增大而减少。
∴当,有最大值为(元)
( 3 )
对称轴为,
∵,∴当即时,随的增大而增大。
又∵,∴
已如:矩形ABCD中,,点M在对角线AC上,直线过点M且与AC垂直,与AD相交于点E。
(1)如果直线与边BC相交于H(如图1),,且,求AE的长;(用含的代数式表示)
(2)在(1)中,又直线把矩形分成两部分的面积比为25,求的值;
(3)若,且直线经过点B(如图2),求AD的长;
(4)如果直线分别与边AD、AB相交于点E、F,。设AD长为,的面积为,求与的函数关系式,并指出的取值范围。(求的取值范围可不写过程)
解:( 1 )∵在矩形ABCD 中.∠D = 90º,
∴,
∵,,
∴∽
∴,
∴,
( 2 ) (法一)
∵AD∥BC,易得∽,
∴
∴,∴
∴梯形面积
∵,∴,∴,
∴,∴(负值舍去,经检验是原方程的解)
(法二)∵由(1)得,∴
∵AD∥BC,易得∽
∴
∴,∴
∵,∴
( 3 ) (法一)与(1)、(2)同理得,,
∴
∴,
∵直线过点B,∴
∴,∴(负值舍去,经检验是原方程的解)
(法二)连结BD交AC于点O,则
又∵,∴
∵,∴
∴是等边三角形,
∵,∴∴。
( 4 )
(法一)在中,∵,∴,,
由∽,有:,∴
∵,∴
∴,又∵
∴∽,∴
∴,∴,
∴与的函数关系式是。
(法二)在中,∵,∴,,
由∽,有:,∴
∵,∴
∴,又∵
∴∽,∴,
∴
∴与的函数关系式是
课常上,李老师出了这样一道题;
已知,,求代数式的值。
小明觉得直接代入计算太繁了,请你来帮他解决,并写出具体过程.
解:原式
一只不透明的袋子中。装有2 个白球和1 个红球,这些球除颜色外都相词.
(1)小明认为,搅匀后从中任意摸出一个球,不是白球就是红球:因此摸出白球和摸出红球是等可能的.你同意他的说法吗?为什么?
(2)搅均后从中一把摸出两个球,若通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率;
(3)搅均后从中任意摸出一个球,要使摸出红球的概率为,则如何添加红球?
解:( 1)不同意小明的说法
因为摸出白球的概率是,摸出红球的概率是,因此摸出白球和摸出红球不是等可能的。
( 2 ) 树状图如图(列表略):
∴P(两个球都是白球);
(3)(法一)设应添加个红球,
由题意得
解得(经检验是原方程的解)
答:应添加3 个红球.
(法二)∵添加后P (摸出红球)
∴添加后P (摸出白球)
∴ 添加后球的总个数
∴应添加个红球.
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