C

【分析】根据图形所示，阴影部分的面积是圆面积的一半与三角形 面积的和，圆的半径是 ，圆面积的一半就是 ，连接 ，根据垂径定理得 ， ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，则 是等腰直角三角形，可得 即可求解．

【详解】解：如果所示，圆半径是 ，连接 ， ，

， ，

∴ ，

∵ AC 为直径，

∴ ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ．

故选： C ．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，与圆相关的阴影部分的面积的计算．熟练掌握圆面积，直角三角形面积的计算是解题的关键．

C

【分析】根据 是 的内接三角形，可得 OA = OC ，从而得到 ∠ ACO =∠ OAC =20° ，进而得到 ∠ AOC =140° ，再由圆周角定理，即可求解．

【详解】解： ∵ 是 的内接三角形，

∴ OA = OC ，

∴∠ ACO =∠ OAC =20° ，

∴∠ AOC =180°-∠ OAC -∠ ACO =140° ，

∴ ．

故选： C

【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解题的关键．

D

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对 A 进行判断，根据对称轴的定义对 B 进行判断，根据垂径定理的推论对 C 进行判断，根据圆周角定理的推论对 D 进行判断．

【详解】解： A 、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；

B 、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；

C 、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；

D 、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，

故选： D ．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对称性，垂径定理及圆周角定理的推论．

C

【分析】如图，连接 BC ，根据圆周角定理可知： ，根据锐角三角函数求出 ∠ CAB 的度数，再根据等边对等角，即可求出 ∠ ACO 的度数．

【详解】解：如图，连接 BC ，

∵ AB 是 ⊙ O 的直径，

∴ ，

∵ AB =4 ， AC =2 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

故选 C ．

【点睛】本题考查圆周角定理，以及利用三角函数求角的度数．圆中遇到直径，经常利用圆周角定理构造直角三角形来解题．

C

【分析】先利用垂径定理，由 C 为 的中点得到 OC ⊥ AB ，则 ∠ A +∠ AOC =90° ，然后根据圆周角定理得到 ∠ AOC =2∠ ADC ，加上 ∠ A =∠ B ，于是可判断 C 选项一定正确．

【详解】 ∵ C 为 的中点，

∴ OC ⊥ AB ，

∴∠ A +∠ AOC ＝ 90° ，

∵∠ AOC ＝ 2∠ ADC ，

∴2∠ ADC +∠ A ＝ 90° ，

∵ OA ＝ OB ，

∴∠ A ＝ ∠ B ，

∴2∠ ADC +∠ B ＝ 90° ．

故选： C ．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．