D

【分析】经过圆心 O 作圆的内接正 n 边形的一边 AB 的垂线 OC ，垂足是 C ，连接 OA ，则在直角 △ OAC 中， ∠ O ＝ ， OC 是边心距， OA 即半径，根据三角函数关系即可求 a 、 b 的值，即可求解．

【详解】

解：经过圆心 O 作圆的内接正 n 边形的一边 AB 的垂线 OC ，垂足是 C ，连接 OA ，

则在 Rt △ OAC 中， ∠ O ＝ ， OC 是边心距， OA 即半径；

设半径为 r ，

则圆内接正方形的边心距为 a ＝ r ＝ r

圆内接六边形的边心距为 b ＝ r ＝ r

＝ r （ r ）＝ ，

故选 D ．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用和圆内接正多边形的相关知识，掌握特殊三角函数值和圆内接正多边形的相关知识并能灵活运用是解题的关键．

A

【分析】在 中， ，斜边 AB 是已知边， 是已知角，而要求的是 的对边 BC 的长，所以选择 的正弦，即可求出结果．

【详解】解：如图，在 中， ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ 米，

∴ 米．

故选： A ．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．

C

【分析】如图，记 CP 与 AB 的交点为 H ，过 H 作 于 I ，作 于 J ， 在量角器所在的半圆 Q 上，而 P 为 的中点，可得 设 则 求解 可得 CH ，同理可得 PH ，从而可得答案．

【详解】解：如图，记 CP 与 AB 的交点为 H ，过 H 作 于 I ，作 于 J ，

∵ 为半圆的直径，

∴ 在量角器所在的半圆 Q 上，而 P 为 的中点，

∴

∵

∴

设 则

∴

解得：

∴

同理可得：

∴

同理可得：

而

∴

∴

故答案为： C

【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，圆周角定理的应用，解直角三角形，理解题意，证明 在量角器所在的半圆 Q 上是解本题的关键．

A

【分析】过点 D 作 DE 垂直于 CB 的延长线于点 E ，设 AC = BC = a ，根据勾股定理得 ，由等腰直角三角形的性质得 ∠ ABC =∠ BAC =45° ，从而得 ，在 Rt △ BDE 中，解直角三角形得 DE =2 a ， BE =2 a ，进而求得 CE = BC + BE =3 a 即可求得 ．

【详解】解：过点 D 作 DE 垂直于 CB 的延长线于点 E ，如下图，

设 AC = BC = a ，

∵ AC ⊥ BC ， AC = BC = a ，

∴ ， ∠ ABC +∠ BAC =90° ， ∠ ABC =∠ BAC ，

∴∠ ABC =∠ BAC =45° ， ，

∴∠ DBE =∠ ABC =45° ，

∵ DE ⊥ CE ，

∴ DE = ， BE = ，

∴ CE = BC + BE =3 a ，

∴ ，

故选： A ．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．

A

【分析】设 O 是正六边形的中心， AB 是正六边形的一边， OC 是边心距，则 △ OAB 是正三角形， △ OAB 的面积的六倍就是正六边形的面积．

【详解】解：设 O 是正六边形的中心， AB 是正六边形的一边， OC 是边心距，

则 ∠ AOB ＝ 60° ， OA ＝ OB ＝ ×4 ＝ 2 ，

∴ △ OAB 是正三角形，

∴ AB ＝ OA ＝ 2 ，

∵ OC ＝ OA •sin∠ A ，

∴ S △ OAB AB • OC

∴ 正六边形的面积为 6 ．

故选： A ．

【点睛】本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．