如图,五边形 ABCDE 是由五边形 FGHMN 经过位似变换得到的,点 O 是位似中心, F 、 G 、 H 、 M 、 N 分别是 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 的中点,则五边形 ABCDE 与五边形 FGHMN 的面积比是( )
A . 2 : 1 B . 4 : 1 C . 5 : 1 D . 6 : 1
B
【解析】
【分析】
由题意可知五边形 ABCDE 与五边形 FGHMN 相似 ,再 由面积比是相似比的平方,可得答案.
【详解】
解:由题意可得:五边形 ABCDE 与五边形 FGHMN 相似,且相似比为 2 : 1
面积比是相似比的平方
五边形 ABCDE 与五边形 FGHMN 的面积比是 4 : 1
故选 B
【点睛】
此题考察的知识点有:位似、相似、中点的性质、相似比和面积比;面积比是相似比的平方是解题关键.
某通信公司准备逐步在歌乐山上建设 5 G 基站.如图,某处斜坡 CB 的坡度(或坡比)为 i = 1∶2.4 ,通讯塔 AB 垂直于水平地面,在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 45° ,在 D 处测得塔顶 A 的仰角为 53° ,斜坡路段 CD 长 26 米,则通讯塔 AB 的高度为( )(参考数据: , , )
A . 米 B . 米 C . 56 米 D . 66 米
B
【解析】
【分析】
通过作辅助线,利用斜坡 的坡度为 , ,由勾股定理可求出 的长,设出 的长,根据坡度表示 ,进而表示出 ,由于 是等腰直角三角形,可表示 ,在 中由锐角三角函数可列方程求出 ,进而求出 .
【详解】
解:如图,延长 与水平线交于 ,过 作 , 为垂足,过 作 , 为垂足,连接 , ,
斜坡 的坡度为 ,
,
设 米,则 米,
在 中, 米,由勾股定理得,
,
即 ,
解得 ,
(米 , (米 ,
斜坡 的坡度为 ,
设 米,则 米,
,
米,
米,
在 中, 米, 米,
,
,
解得 ,
(米 , (米 ,
(米 ,
(米 ,
答:基站塔 的高为 米.
故选: B .
【点睛】
本题考查解直角三角形 仰角俯角问题,坡度坡角问题,通过作垂线构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键.
如图, △ ABC 与 △ DEF 位似,位似中心为点 O , △ ABC 与 △ DEF 的面积之比为 4∶9 ,则 AO : OD 的比值为( )
A . 2∶3 B . 2∶5 C . 4∶9 D . 4∶13
A
【解析】
【分析】
根据位似图形的性质得到 , ,再根据相似三角形的性质解答即可.
【详解】
解: 与 位似, 与 的面积之比为 ,
, ,
,
,
故选: A .
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质,掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是解题的关键.
如图,在菱形 ABCD 中, O 、 E 分别是 AC 、 AD 的中点,连接 OE ,若 AB = 10 , AC = 12 ,则 tan∠ AOE 的值为( )
A . B . C . D .
D
【解析】
【分析】
连接 OD ,由菱形的性质可知 AD = CD = AB = 10 .由 O 是 AC 的中点结合等腰三角形 “ 三线合一 ” 得出 OD ⊥ AC , OA = OC =6 .从而在 中,利用勾股定理可求出 OD 的长.由 O 、 E 分别是 AC 、 AD 的中点,即可根据三角形中位线的性质得出 OE ∥ CD ,从而得出 ∠ AOE = ∠ ACD ,即求出 tan∠ ACD 即可.
【详解】
如图,连接 OD ,
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AD = CD = AB = 10 .
∵ O 是 AC 的中点,
∴ OD ⊥ AC , OA = OC AC = 6 ,
由勾股定理得, OD ,
∵ O 、 E 分别是 AC 、 AD 的中点,
∴ OE 是 △ ACD 的中位线,
∴ OE ∥ CD ,
∴∠ AOE = ∠ ACD ,
∴tan∠ AOE = tan∠ ACD ,
故选: D .
【点睛】
本题考查菱形的性质,等腰三角形 “ 三线合一 ” ,勾股定理,三角形中位线的性质以及求正切值.正确的作出辅助线是解题关键.
以下为四个银行的标志,其中是中心对称图形的是( )
A . B .
C . D .
D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念:把一个图形绕着某一个点旋转 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形称为中心对称图形,判断即可.
【详解】
解: A. 不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B. 不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C. 不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D. 是中心对称图形,故此选项符合题意.
故选: D .
【点睛】
本题考查的是中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 后两部分重合.
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