如图,在Rt△ABO中,∠BAO=90°,AO=AB,BO=8,点A的坐标(﹣8,0),点C在线段AO上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动,运动时间为t秒,连接BC,过点A作AD⊥BC,垂足为点E,分别交BO于点F,交y轴于点 D.
(1)用t表示点D的坐标 ;
(2)如图1,连接CF,当t=2时,求证:∠FCO=∠BCA;
(3)如图2,当BC平分∠ABO时,求t的值.
【解析】(1)∵AD⊥BC,
∴∠AEB=90°=∠BAC=∠AOD,
∴∠ABC+∠BAE=90°,∠BAE+∠OAD=90°,
∴∠ABC=∠OAD,
∵AB=OA,
∴△ABC≌△OAD(ASA),
∴OD=AC=2t,
∴D(0,2t).
故答案为(0,2t);
(2)如图1中,
∵AB=AO,∠BAO=90°,OB=,
∴AB=AO=8,
∵t=2,
∴AC=OD=4,
∴OC=OD=4,
∵OF=OF,∠FOD=∠FOC,
∴△FOD≌△FOC(SAS),
∴∠FCO=∠FDO,
∵△ABC≌△OAD,
∴∠ACB=∠ADO,
∴∠FCO=∠ACB;
(3)如图2中,在AB上取一点K,使得AK=AC,连接CK.设AK=AC=m,则CK=m.
∵CB平分∠ABO,
∴∠ABC=22.5°,
∵∠AKC=45°=∠ABC+∠KCB,
∴∠KBC=∠KCB=22.5°,
∴KB=KC=m,
∴m+m=8,
∴m=8(),
∴t==4(﹣1).
如图1,直线1:y=﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、点E,抛物线L:y=ax2+bx+c经过点B、点A(﹣3,0)和点C(0,﹣3),并与直线l交于另一点D.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)点P为x轴上一动点
①如图2,过点P作x轴的垂线,与直线1交于点M,与抛物线L交于点N.当点P在点A、点B之间运动时,求四边形AMBN面积的最大值;
②连接AD,AC,CP,当∠PCA=∠ADB时,求点P的坐标.
【解析】(1)∵y=﹣x+1,
∴B(1,0),
将A(﹣3,0)、C(0,﹣3),B(1,0)代入y=ax2+bx+c,
,
∴
∴抛物线L的解析式:y=x2+2x﹣3;
(2)设P(x,0).
①S四边形AMBN=AB•MN
=
=﹣2(x+)2+,
∴当x=﹣时,S四边形AMBN最大值为;
②由,得,,
∴D(﹣4,5),
∵y=﹣x+1,
∴E(0,1),B(1,0),
∴OB=OE,
∴∠OBD=45°.
∴BD=.
∵A(﹣3,0),C(0,﹣3),
∴OA=OC,AC=,AB=4.
∴∠OAC=45°,∴∠OBD=∠OAC.
Ⅰ.当点P在点A的右边,∠PCA=∠ADB时,△PAC∽△ABD.
∴,
∴,
∴,
∴P1
Ⅱ.当点P在点A的左边,∠PCA=∠ADB时,记此时的点P为P2,则有∠P2CA=∠P1CA.
过点A作x轴的垂线,交P2C于点K,则∠CAK=∠CAP1,又AC公共边,
∴△CAK≌△CAP1(ASA)
∴AK=AP1=,
∴K(﹣3,﹣),
∴直线CK:,
∴P2(﹣15,0).
P的坐标:P1,P2(﹣15,0).
如图,Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠DAB=30°,⊙O为△ADB的外接圆,DH⊥AB于点H,现将△AHD沿AD翻折得到△AED,AE交⊙O于点C,连接OC交AD于点G.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=10,求线段OG的长.
【解析】(1)连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
由翻折得:∠OAD=∠EAD,∠E=∠AHD=90°,
∴∠ODA=∠EAD,
∴OD∥AE,
∴∠E+∠ODE=180°,
∴∠ODE=90°,
∴DE与⊙O相切;
(2)∵将△AHD沿AD翻折得到△AED,
∴∠OAD=∠EAD=30°,
∴∠OAC=60°,
∵OA=OD,
∴△OAC是等边三角形,
∴∠AOG=60°,
∵∠OAD=30°,
∴∠AGO=90°,
∴OG=AO=.
密码锁有三个转轮,每个转轮上有十个数字:0,1,2,…9.小黄同学是9月份中旬出生,用生日“月份+日期”设置密码:9××(注:中旬为某月中的11日﹣20日),小张同学要破解其密码:
(1)第一个转轮设置的数字是9,第二个转轮设置的数字可能是 .
(2)请你帮小张同学列举出所有可能的密码,并求密码数能被3整除的概率.
【解析】(1)∵小黄同学是9月份中旬出生,
∴第一个转轮设置的数字是9,第二个转轮设置的数字可能是1,2;
故答案为1或2;
(2)所有可能的密码是:911,912,913,914,915,916,917,918,919,920;
能被3整除的有912,915,918,;
密码数能被3整除的概率.
如图,已知AB,CG是⊙O的两条直径,AB⊥CD于点E,CG⊥AD于点F.
(1)求∠AOG的度数;
(2)若AB=2,求CD的长.
【解析】(1)连接OD,
∵AB⊥CD,
∴,
∴∠BOC=∠BOD,
由圆周角定理得,∠A=∠BOD,
∴∠A=∠BOD,
∵∠AOG=∠BOD,
∴∠A=∠AOG,
∵∠OFA=90°,
∴∠AOG=60°;
(2)∵∠AOG=60°,
∴∠COE=60°,
∴∠C=30°,
∴OE=OC=,
∴CE=,
∵AB⊥CD,
∴CD=2CE=.
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