【解析】（1）由题意得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+2；

（2）∵由y=-x²+2x+2得：当x=0时，y=2，

∴B（0，2），

由y=-（x-1）²+3得：C（1，3），

∵A（3，-1），

∴AB=3，BC=，AC=2，

∴AB²+BC²=AC²，∴∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）①如图，当点Q在线段AP上时，

过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵S_△OPA=2S_△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==1，

∴PE=AD=1

∵由-x²+2x+2=1得：x=1，

∴P（1+，1）或（1-，1），

②如图，当点Q在PA延长线上时，

过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵S_△OPA=2S_△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=3AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==3，

∴PE=3AD=3

∵由-x²+2x+2=-3得：x=1±，

∴P（1+，-3），或（1-，-3），

综上可知：点P的坐标为（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AO＝BO，AC⊥BD，

∴∠AFO+∠FAO＝90°，

∵AE⊥BG，

∴∠BFE+∠FBG＝90°，且∠BFE＝∠AFO，

∴∠FAO＝∠FBG，且OA＝OB，∠AOF＝∠BOG，

∴△AOF≌△BOG（ASA），

∴OF＝OG；

（2）以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

∵BE＝BC，

∴设BC＝n，则BE＝1，

∴点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0），

∴直线AC解析式为：y＝﹣x+n，

直线AE解析式为：y＝﹣nx+n，

∵BG⊥AE，

∴直线BG的解析式为：y＝x，

∴x＝﹣x+n，

∴x＝，

∴点G坐标（，），

∵点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0），

∴BO＝n，点O坐标（，），

∴OG＝，

∴tan∠OBG＝；

（3）∵OB＝OF+BF，BF＝2，OF＝1，

∴OB＝3，且OF＝OG，OC＝OB，BO⊥CO，

∴OC＝3，OG＝1，BC＝3，

∴CG＝2，

∵∠GEC＝90°，∠ACB＝45°，

∴GE＝EC＝，

∴BE＝BC﹣EC＝2，

∴，

∴BE＝BC=BC，

∴n＝.

【解析】（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球的花费需要y元，

根据题意，得，

解得：．

答：购买一个足球和一个篮球的花费各需要80和50元；

（2）设购买a个足球，根据题意，得：

（1+10%）×80a+（1﹣10%）×50（60﹣a）≤4000，

解得：a≤，

又∵a为正整数，

∴a的最大值为30．

答：最多可以购买30个足球．

【解析】(1)证明：连接OD，OA，作OF⊥AC于F，如图，

∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

而OF⊥AC，

∴OF＝OD，

∴AC是⊙O的切线；

(2)过D作DF⊥BC于F，连接OD，

∵tan∠BCD＝，

∴，

设DF＝a，OF＝x，则CF＝4a，OC＝4a﹣x，

∵O是底边BC中点，

∴OB＝OC＝4a﹣x，

∴BF＝OB﹣OF＝4a﹣2x，

∵OD⊥AB，

∴∠BDO＝90°，

∴∠BDF+∠FDO＝90°，

∵DF⊥BC，

∴∠DFB＝∠OFD＝90°，∠FDO+∠DOF＝90°，

∴∠BDF＝∠DOF，

∴△DFO∽△BFD，

∴，

∴，

解得：x₁＝x₂＝a，

∵⊙O的半径为，

∴OD＝，

∵DF²+FO²＝DO²，

∴(x)²+x²＝()²，

∴x₁＝x₂＝a＝1，

∴OC＝4a﹣x＝3，

∴BC＝2OC＝6．

【解析】（1）AE＝；

故答案为：；

（2）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．

故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．

∴P（3，4），Q（6，6）．