已知开口向下的抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A、B两点(点A在点B的左边),与y轴的交点为C,OC=3OA
(1)请直接写出该抛物线解析式;
(2)如图,D为抛物线的顶点,连接BD、BC,P为对称轴右侧抛物线上一点.若∠ABD=∠BCP,求点P的坐标
(3)在(2)的条件下,M、N是抛物线上的动点.若∠MPN=90°,直线MN必过一定点,请求出该定点的坐标.
【解析】(1)当x=0时,y=ax2﹣2ax+3=3,
∴C(0,3),OC=3OA=3,
∴OA=1,A(﹣1,0),
把点A(﹣1,0)代入抛物线解析式得:a+2a+3=0,
解得:a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图1,若点P在抛物线对称轴右侧且在x轴上方,
过点P作PE∥y轴交BC于点E,PF⊥BC于点F,过点D作DH⊥x轴于点H,
∴∠CFP=∠BHD=90°,
∵当y=﹣x2+2x+3=0时,解得:x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D(1,4),
∴DH=4,BH=3﹣1=2,
∴BD=,
∴Rt△BDH中,sin∠ABD=,
∵C(0,3)
∴BC=,PC=,
设直线BC解析式为y=kx+b,
∴,解得:,
∴直线BC解析式为y=﹣x+3,
设P(p,﹣p2+2p+3)(1<p<3),则E(p,﹣p+3),
∴PE=﹣p2+2p+3﹣(﹣p+3)=﹣p2+3p,
∵S△BCP=PE•OB=BC•PF,
∴PF=,
∵∠ABD=∠BCP,
∴Rt△CPF中,sin∠BCP==sin∠ABD=,
∴PF=PC,
∴PF2=PC2,
解得:p1=﹣1(舍去),p2=,
∴﹣p2+2p+3=,
∴点P坐标为(,)
如图2,若点P在x轴下方,
∵tan∠ABD==2>tan45°,
∴∠ABD>45°,
∵∠BCP<∠BOC即∠BCP<45°,
∴∠ABD与∠BCP不可能相等.
综上所述,点P坐标为(,);
(3)如图3,过P作PH∥y轴,分别过点M、N作MG⊥PH于G,NH⊥PH于H.
设直线MN的解析式为y=kx+n,M(x1,y1)、N(x2,y3),
令kx+n=﹣x2+2x+3,即=x2+(k﹣2)x+n﹣3=0,
∴x1+x2=2﹣k,x1x2=n﹣3,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2n=k(2﹣k)+2n,
y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+nk(x1+x2)+n2=﹣3k2+2nk+n2,
∵∠G=∠MPN=∠H,
∴△MPG∽△PNH,
∴ ,
∵P坐标为(,),
MG=﹣x1,PH=y1﹣,HN=,GP=,
∴,
整理,得,
∴,
解得 k1=﹣3n+,k2=,
∴直线MN;y=(﹣3n+)x+n=(﹣3x+1)n+,过定点(,);
或y=()x+n=()n+,过定点(,)即P点,舍去.
∴直线MN过定点(,).
如图,△ABC内接于⊙O,BC为直径,∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于D和E,P为CB延长线上一点,PB=5,PA=10,且∠DAP=∠ADP.
(1)求证:PA与⊙O相切;
(2)求sin∠BAP的值;
(3)求AD•AE的值.
【解析】(1)证明:连接OA,如图1所示:
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠DAP=∠BAD+∠PAB,∠ADP=∠CAD+∠C,∠DAP=∠ADP,
∴∠PAB=∠C,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠C=∠PAB,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,即∠OAC+∠OAB=90°,
∴∠PAB+∠OAB=90°,即∠OAP=90°,
∴AP⊥OA,
∴PA与⊙O相切;
(2)解:∵∠P=∠P,∠PAB=∠C,
∴△PAB∽△PCA,
∴
∵∠CAB=90°,
∴
∴sin∠BAP=sin∠C=;
(3)解:连接CE,如图2所示:
∵PA与⊙O相切,
∴PA2=PB×PC,即102=5×PC,
∴PC=20,
∴BC=PC﹣PB=15,
∵
∴,
∵AE是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAE,
∵∠E=∠ABD,
∴△ACE∽△ADB,
∴
∴
如图(1),AB⊥BC,CD⊥BC,点E在线段BC上,AE⊥ED,
求证:(1).
(2)在△ABC中,记tanB=m,点E在边AB上,点D在直线BC上.
①如图(2),m=2,点D在线段BC上且AD⊥EC,垂足为F,若AD=2EC,求;
②如图(3),m=,点D在线段BC的延长线上,ED交AC于点H,∠CHD=60°,ED=2AC,若CD=3,BC=4,直接写出△BED的面积.
【解析】(1)∵AB⊥BC,CD⊥BC,AE⊥ED,
∴∠B=∠C=∠AED=90°,
∴∠A+∠AEB=∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠A=∠DEC,
∴△ABE∽△ECD,
∴;
(2)如图,过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EH⊥BC于点H,
∵tanB=m=2=,
∴设EH=2x,BH=x,AM=2BM,
∴BE=,
∵AF⊥EC,AM⊥CD,
∴∠ADC+∠DCE=90°,∠ADC+∠DAM=90°,
∴∠DAM=∠DCE,且∠AMD=∠EHC=90°,
∴△EHC∽△DMA,且AD=2EC,
∴,
∴DM=2EH=4x,AM=2HC,
∵AM=2HC,AM=2BM,
∴HC=BM,
∴HC﹣HM=BM﹣HM,
∴BH=MC=x,
∴DC=DM+MC=5x,
∴;
(3)如图,作∠BCF=∠B,交AB于点F,过点D作GD⊥BD交BA的延长线于点G,过点F作FM⊥BC于点M,
∵tanB=m=,
∴∠B=30°,
∵∠BCF=∠B=30°,
∴BF=FC,且FM⊥BC,BC=4,
∴BM=MC=2,且∠B=30°,FM⊥BC,
∴FM=2,BF=FC=4,
∵CD=3,BC=4,
∴BD=7.
又∵∠BCF=∠B=30°,GD⊥BD,
∴∠G=60°,∠AFC=60°,GD=7,BG=2DG=14,
∵∠BCA=∠BDE+∠CHD=∠BDE+60°=∠BCF+∠ACF=30°+∠ACF,
∴∠ACF=30°+∠BDE,且∠AEH=∠B+∠BDE=30°+∠BDE,
∴∠ACF=∠AEH,且∠G=∠AFC=60°,
∴△GED∽△FCA,
∴,且DE=2AC,
∴GD=2AF,EG=2FC=8,
∴AF=,
∴BE=BG﹣EG=14﹣8=6,
∵S△BGD=×BD×GD=,
∴S△BED=.
矩形AOBC中,OB=8,OA=4.分别以OB,OA所在直线为x轴,y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B,C重合),过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与边AC交于点E.
(1)当点F运动到边BC的中点时,求点E的坐标;
(2)连接EF、AB,求证:EF∥AB;
(3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求此时反比例函数的解析式.
【解析】(1)∵四边形OACB是矩形,OB=8,OA=4,
∴C(8,4),
∵点F是BC中点,
∴F(8,2),
∵点F在y=上,
∴k=16,反比例函数解析式为y=
∵点E在反比例函数图像上,且E点的纵坐标为4,
∴4=
∴x=4
∴E(4,4).
(2)连接AB,设点F(8,a),
∴k=8a,
∴E(2a,4),
∴CF=4﹣a,EC=8﹣2a,
在Rt△ECF中,tan∠EFC==2,
在Rt△ACB中,tan∠ABC==2,
∴tan∠EFC=tan∠ABC,
∴∠EFC=∠ABC,
∴EF∥AB.
(3)如图,
设将△CEF沿EF折叠后,点C恰好落在OB上的G点处,
∴∠EGF=∠C=90°,EC=EG,CF=GF,
∴∠MGE+∠FGB=90°,
过点E作EM⊥OB,
∴∠MGE+∠MEG=90°,
∴∠MEG=∠FGB,
∴Rt△MEG∽Rt△BGF,
∴,
∵点E(,4),F(8,),
∴EC=AC﹣AE=8﹣,CF=BC﹣BF=4﹣,
∴EG=EC=8﹣,GF=CF=4﹣,
∵EM=4,
∴,
∴GB=2,
在Rt△GBF中,GF2=GB2+BF2,
即:(4﹣)2=(2)2+()2,
∴k=12,
∴反比例函数表达式为y= .
武商量贩销售A,B两种商品,售出4件B种商品所得利润为400元;售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元.
(1) 求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元;
(2) 由于需求量大,A,B两种商品很快售完,武商量贩决定再一次购进A,B两种商品共34件,如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么武商量贩至少需购进多少件A种商品?
【解析】(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元,每件B种商品售出后所得利润为y元.由题意,得
解得:.
答:每件A种商品售出后所得利润为200元,每件B种商品售出后所得利润为100元.
(2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(34-a)件.由题意,得
200a+100(34-a)≥4000,
解得:a≥6
答:威丽商场至少需购进6件A种商品.
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