综合与探究
如图1 ,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线交y轴于点E(0,2).
(1)求A,B,C三点的坐标及直线BE的解析式.
(2)如图2,过点A作BE的平行线交抛物线于点D,点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点,连接PA,PD,求面积的最大值.
(3)若(2)中的点P为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
[考点]解一元二次方程,一次函数解析式的确定,解二元一次方程组,二次函数的性质,三角形面积的计算,解一元一次方程,平行四边形的判定与性质,分类讨论思想
[解析] (1) 对于抛物线的解析式,令y =0,可求点A,B的坐标,令x =0可求点C的坐标,由点B,E的坐标可求出直线BE的解析式.
(2)先求出直线AD的解析式,联立直线AD及抛物线的解析式组成方程组,通过解方程组求出点D的坐标.过点P作PF⊥x轴于点F,交AD于点N,过点D作DG⊥x轴于点G,设出点P的坐标,表示出PN的长,进而表示出△APD的面积,利用二次函数的性质可求解.
(3)根据AD为边或对角线,分情况画出图形,根据平行四边形的性质及坐标关系求解.
解:(1)当y =0时,,解得x1= 4,x2 =-1.
点A在点B的左侧,
A(- 1,0),B(4,0).
当x =0时,y =-2,
C(0,-2). (2分)
设直线BE的解析式为y=k x +b.
把B(4,0),E(0,2)分别代入,得
解得
直线BE的解析式为.(3分)
(2)由题意可设直线AD的解析式为.
把A(-1,0)代入,得,
解得
直线AD的解析式为 (4分)
由
得
点D的坐标为(3,-2). ........ (5分)
如解图1,过点P作PF⊥x轴于点F,交AD于点N,过点D作DG⊥x轴于点G.
解图1 解图2
(6分)
设P()则N()(7分)
(8分)
当a=1时,△APD的面积最大,最大面积为4. (9分)
(3)存在.点Q的坐标为(2,0)或(-4,0)或或(13分)
[提示]如解图2,当四边形AQPD或四边形QAPD是平行四边形时,PD//AQ,则点P的纵坐标为-2.由点P在抛物线上,得,解得x =0或x=3.此时点P与点C重合,PD=3.则点Q的坐标为(2,0)或(-4,0).
当四边形PADQ是平行四边形时,可得点P的纵坐标为2.由点P在抛物线上,得
,解得或.此时点Q的坐标为
或.综上,符合条件的点Q的坐标为(2,0)或(-4,0)或或
综合与实践
问题情境:
在综合与实践课上,老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,在中,AB = AC = 10cm,BC = 16cm.将沿BC边上的中线AD剪开,得到和.
操作发现:
(1)乐学小组将图1中的以点D为旋转中心,按逆时针方向旋转,使得A'C'⊥AD,得到图2,A'C'与AB交于点E,则四边形BEC'D的形状是 ▲ .
(2)缜密小组将图1中的沿DB方向平移,A'D'与AB交于点M,A'C'与AD交于点N,得到图3,判断四边形MNDD'的形状,并说明理由.
实践探究:
(3)缜密小组又发现,当(2)中线段DD'的长为a cm时,图3中的四边形MNDD'会成为正方形,求a的值.
(4)创新小组又把图1中的放到如图4所示的位置,点A的对应点A'与点D重合,点D的对应点D'在BD的延长线上,再将绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置,DD'交AB于点P, DC'交AB于点Q,DP = DQ,此时线段AP的长是 ▲ cm. .
[考点]旋转的性质, 平行四边形的判定,平行线的判定,等角的余角相等,等腰三角形的判定与性质,平移的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,矩形的判定,勾股定理,正方形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解一元一次方程
[解析] (1)先由两组对边分别平行证四边形BEC'D为平行四边形,再由邻边相等证四边形BEC'D为菱形.
(2)先由“ASA"证△MD'B≌△NDC',得到MD'=ND,再由MD'//ND和∠NDD'= 90°,可得四边形MNDD'为矩形.
(3)由正方形的性质,得MD' = DD'= a,证△BMD'~△BAD,由相似三角形的对应边成比例列式计算即可.
(4)过点D作DG⊥AB于点G,分别求出AQ,AG,PG的长即可.
解:(1)菱形. ............... (1分)
[提示]由题意知AD⊥BD,A'C'⊥AD,
A'C'// BD,∠A = 90°-∠B,∠C'DA =90°-∠C'.
AB=AC,
∠C'=∠B.
∠A=∠C'DA.
AB // C'D.
四边形BEC'D为平行四边形. .
又 DB= DC'.
平行四边形BEC'D为菱形.
(2)四边形MNDD'为矩形. ......... (2 分)
理由:在图1中,AB = AC,AD⊥BC,
BD=CD,∠.ADB=∠ADC=90°,∠B=∠C ........ (3分)
BD'=C'D,∠MD'B=∠NDC'=90°.
△MD'B≌△NDC'.
MD'=ND. ................... (5分)
∠A'D'C'+∠ADB = 180°,
MD'// ND.
四边形MNDD'为平行四边形, ... (6分)
又∠NDD' = 90°,
平行四边形MNDD'为矩形,.... (7分)
(3)当四边形MNDD'为正方形时,DD'=D'M =a,BD'=BD - a. ......... (8分)
∠B=∠B,∠BD'M=∠BDA=90°,
△BMD'~△BAD.
(9分)
AB=10,
,.
解得 (11分)
(4)..................... (13分)
[提示]如解图,过点D作DG⊥AB于点G.
DP=DQ,
∠DQP=∠DPQ,QG=PG.
又∠A=∠PDQ,
△DQP~△AQD.
∠ADQ=∠DPQ.
∠ADQ =∠AQD.
AQ=AD=6.
∠A=∠A,∠DGA=∠BDA,
△DGA~△BDA.
舍利生生塔位于晋祠南瑞, 建于隋开皇年间,宋代重修,清乾隆十六年(1751年)重建.七屋八角,琉璃瓦顶,远远望去,高耸的古塔,映衬着蓝天白云,甚是壮观.原塔内每层均有佛像,开4门8窗,凭窗远眺,晋祠内外美景可一览无余.如果在夕阳西下时欣赏宝塔,还会出现一天云锦、满塔光辉的壮丽景观,被誉为“宝塔披霞”.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量舍利生生塔高”作为一项课题活动,他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量结果如下表:
(1)请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据,求塔高AB.(结果精确到1m;参考数据:sin24°≈0.41 ,cos24°≈0.91 ,tan24°≈0.45,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80, tan37°≈0.75)
(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表中的项目外,你认为还需要补充哪些项目?(写出一个即可)
[考点] 解直角三角形的实际应用.
[解析] (1)在Rt△AFE中,先由三角函数用AE表示出FE,再证四边形HCDF是矩形,得到HF的长度.在Rt△AHE中,由三角函数求出AE的长度;再证四边形FDBE是矩形,进一步可得到塔高AB.
(2)合理即可.
解: (1)在Rt△AFE中,tan∠AFE =,∠AFE = 37°,
. ................ (1分)
∠HCD=90°,∠FDC=90°,
HC//FD.
又HC=FD,
四边形HCDF是矩形.
HF=CD=32m. ..............(2分)
在Rt△AHE中, (4分)
解得AE = 36. ................ (5分)
同理,四边形FDBE是矩形,则BE=FD=HC=1.76 m. ................ (6分)
AB=AE+BE=37.76≈38(m) (7分)
答:塔高AB约为38 m. .......... (8分)
(2)还需要补充的项目为:计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等(答案不唯一,合理即可)(9分)
请阅读下列材料,并完成相应的任务.
梅涅劳斯( Menelaus)是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家,著有几何学和三角学方面的许多书籍.梅涅劳斯发现,三角形各边(或其延长线)被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截,这条直线可能与三角形的两条边相交(一定还会与一条边的延长线相交),也可能与三条边都不相交(与三条边的延长线都相交).他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理(简称梅氏定理):
设D,E,F依次是的三边AB,BC,CA或其延长线上的点,且这三点共线,则满足.这个定理的证明步骤如下:
情况①:如图1,直线DE交的边AB于点D,交边AC于点F,交边BC的延长线于点E.过点C作CM // DE交AB于点M,则,(依据)
,即.
情况②:如图2,直线DE分别交的边BA,BC,CA的延长线于点D,E,F......
(1)情况①中的依据指: ▲ .
(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明.
(3)如图3,D,F分别是的边AB,AC.上的点,且AD:DB=CF:FA =2:3,连接DF并延长,交BC的延长线于点E,那么BE:CE = ▲ .
[考点] 阅读理解题,平行线分线段成比例,比例的基本性质,相似三角形的判定与性质,对顶角的性质,平行线的性质
[解析] (1) 由对应线段成比例即可判断.
(2)仿照情况①结合相似三角形可得出结论.
(3)根据梅氏定理和已知可得出结论.
(1)解:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例或平
行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例) .............. (1分)
(2)证明:如解图,过点C作CN//DE交BD于点N,则,∠AFD =∠ACN. ......(2分)
又∠FAD=∠CAN,
△AFD ~△ACN.
(3分)
(4分)
(5分)
,即 (6分)
(3)9: 4. .................... (8分)
中国杂粮看山西,山西杂粮看忻州.“忻州——中国杂粮之都”近年来打造以“一薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业,走上了“兴科技、树品牌、强产业广交流、共发展”的新道路.某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平,提升综合生产能力,决定财政拨款45600元购进A, B两种型号的播种机共30台.两种型号播种机的单价和工作效率分别如下表:
(1)求购进A,B两种型号的播种机各多少台
(2)某农场有2000公顷地种植杂粮,计划从县里新购进的播种机中租用两种型号的播种机共15台同时进行播种.若农场的工人每天工作8 h,则至少租用A种型号的播种机多少台才能在5天内完成播种工作?
[考点]二元一次方程组、一元一次不等式的实际应用
[解析] (1)分别设出购进A,B两种型号播种机的数量,根据“用45600元购进A,B两种型号的播种机共30台”及两种播种机各自的单价列出方程组,求解即可.
(2)根据“工作效率时间=总工作量”列出不等式,求解即可.
解:(1)设购进A种型号的播种机x台, B种型号的播种机y台............ (1分)
根据题意,得(3分)
解得
答:购进A种型号的播种机10台,B种型号的播种机20台. ............... (4分)
(2)设租用A种型号的播种机m台,则租用B种型号的播种机(15-m)台. .... (5分)
根据题意,得58[4m+3(15-m)]≥2000,
解得m≥5. .......... (7分)
答:至少租用A种型号的播种机5台才能在5天内完成播种工作. ..........(8分)
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