如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1,0),且当x=0和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B,C两点,点B在第一象限.
(1)求二次函数y=﹣+bx+c的表达式;
(2)连接AB,求AB的长;
(3)连接AC,M是线段AC的中点,将点B绕点M旋转180°得到点N,连接AN,CN,判断四边形ABCN的形状,并证明你的结论.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等,可得(5,c),根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)联立抛物线与直线,可得方程组,根据解方程组,可得B、C点坐标,根据勾股定理,可得AB的长;
(3)根据线段中点的性质,可得M点的坐标,根据旋转的性质,可得MN与BM的关系,根据平行四边形的判定,可得答案.
【解答】解:(1)当x=0时,y=c,即(0,c).
由当x=0和x=5时所对应的函数值相等,得(5,c).
将(5,c)(1,0)代入函数解析式,得
,
解得.
故抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2;
(2)联立抛物线与直线,得
,
解得,,
即B(2,1),C(5,﹣2).
由勾股定理,得
AB==;
(3)如图:
,
四边形ABCN是平行四边形,
证明:∵M是AC的中点,
∴AM=CM.
∵点B绕点M旋转180°得到点N,
∴BM=MN,
∴四边形ABCN是平行四边形.
【点评】本题考查了二次函数综合题,利用函数值相等得出点(5,c)是解题关键,又利用了待定系数法求函数解析式;利用解方程组得出交点坐标,又利用了勾股定理;利用了平行四边形的判定:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
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