冯忠

梯形作为特殊的四边形，在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。于是，梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点。为此，笔者根据教学中的经验，归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀，这里介绍给大家并举例说明之。

梯形问题中，转化很重要，

平移对角线，平移梯形腰，

作出梯形高，延长两腰来相交，

中位线要想到，一腰中点等积变。

例1. 如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BD，求证：AB＝CD

图1

证明：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E。因为DE//AC，所以 。又因为AD//BC，所以四边形ACED为平行四边形，所以AC＝DE，又因为AC＝BD，所以BD＝DE，所以 ，所以

在 和 中

所以

所以AB＝DC

例2. 如图2，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，求证：

图2

证明：过点D作DE//AB，交BC于一点E，因为AB//DE，所以 。又因为AD//BC，所以四边形ABED为平行四边形，所以AB＝DE，又因为AB＝DC，所以DE＝DC，所以 ，所以

例3. 如图3，在梯形ABCD中， ， ，AD//BC，AD＝3，DC＝6，求梯形的面积S。

图3

解：过点A、D分别作 ， ，垂足分别为E、F

在 中，因为 ，所以

所以 ，

在 中，因为 ，所以AE＝BE，因为AD//BC， ， ，所以四边形AEFD为矩形，所以 ，所以 ，所以

例4. 已知，如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，求证：梯形ABCD为轴对称图形。

图4

证明：延长BA、CD交于点E，过点E作 ，交BC于G，交AD于F，因为 ，所以 。又因为AD//BC，所以 ，因为 ，所以 ，即EG垂直平分AD、BC。又因为 ， ，所以梯形ABCD关于EG对称，所以梯形ABCD为轴对称图形。

例5. 如图5，已知梯形ABCD中，AD//BC，E为AB的中点，且 ，求证：

图5

证明：取CD中点M，连结EM，因为EM为梯形ABCD的中位线

所以

又因为 ，所以

所以 为 ，所以

例6. 如图6，已知在梯形ABCD中，AD//BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：（1）MN//BC；（2）

图6

证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E，因为 ，

所以

所以 ，

又

所以MN是 的中位线，所以MN//BC，

因为

所以