如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是( )
A.3cm B. cm C.2.5cm D. cm
如图,点B,C,D在⊙O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是( )
A.50° B.60° C.80° D.100°
如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A. B. C. D.
如图,⊙O中,半径OC⊥弦AB于点D,点E在⊙O上,∠E=22.5°,AB=4,则半径OB等于( )
A. B.2 C.2 D.3
如图所示,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是( )
A.80° B.120° C.100° D.90°
已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为( )
A.2cm B.4 cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm
如图,为的直径,为上两点,若,则的大小为( ).
A.60° B.50° C.40° D.20°
如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于( )
A. B. C.2 D.
如图,已知⊙O的直径AE=10cm,∠B=∠EAC,则AC的长为( )
A.5cm B.5cm C.5cm D.6cm
如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,则∠A的大小为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC,若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )
A.25° B.27.5° C.30° D.35°
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( )
A. B.2 C.6 D.8
如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( )
A.AD=2OB B.CE=EO C.∠OCE=40° D.∠BOC=2∠BAD
如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是
A.5 B.6 C.7 D.8
如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点,且AE⊥BE,则线段CE的最小值为( )
A. B.2﹣2 C.2﹣2 D.4
如图,⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
如图,PA、PB是⊙O切线,A、B为切点,点C在⊙O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于( )
A.55° B.70° C.110° D.125°
已知⊙O中最长的弦为8cm,则⊙O的半径为( )cm.
A.2 B.4 C.8 D.16
已知锐角∠AOB如图,(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作,交射线OB于点D,连接CD;
(2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交于点M,N;
(3)连接OM,MN.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( )
A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20°
C.MN∥CD D.MN=3CD
如图,AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,垂足为D,若⊙O的半径为5,BC=8,则AB的长为( )
A.8 B.10 C. D.
如图,⊙A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方⊙A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
如图,已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB=( )
A.55° B.110° C.120° D.125°
如图,的直径垂直于弦,垂足是点,,,则的长为( )
A. B. C.6 D.12
如图,与x轴交于点,,与轴的正半轴交于点.若,则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
下列说法中,正确的是( )
A.弦是直径 B.半圆是弧
C.过圆心的线段是直径 D.圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O的半径为5,CD=8,则弦AC的长为( )
A.10 B.8 C.4 D.4
如图,AB是⊙O的直径,点D为⊙O上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则 的长为( )
A. B. C.2π D.
如图,AB是⊙O的直径,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是( )
A.20° B.35° C.40° D.55°
如图,是的弦,交于点,点是上一点,,则的度数为( ).
A.30° B.40° C.50° D.60°
如图,在半径为的中,弦与交于点,,,则的长是( )
A. B. C. D.
如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是( )
A.40° B.50° C.70° D.80°
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,过B,C两点的⊙O交AC于点D,交AB于点E,连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,则AE2+BE2的值为 ( )
A.8 B.12 C.16 D.20
如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,其中AB=4,∠AOC=120°,P为⊙O上的动点,连AP,取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为( )
A.3 B.1+ C.1+3 D.1+
如图,BC是的直径,A,D是上的两点,连接AB,AD,BD,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
下列语句,错误的是( )
A.直径是弦 B.相等的圆心角所对的弧相等
C.弦的垂直平分线一定经过圆心 D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦
如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上的一点,过点C作⊙O的切线,交直径AB的延长线于点D;若∠A=23°,则∠D的度数是( )
A.23° B.44° C.46° D.57°
如图,在⊙O中,∠BAC=15°,∠ADC=20°,则∠ABO的度数为( )
A.70° B.55° C.45° D.35°
图1是用钢丝制作的一个几何探究工具,其中△ABC内接于⊙G,AB是⊙G的直径,AB=6,AC=2.现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中(如图2),然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动,点B在射线OY上也随之向点O滑动(如图3),当点B滑动至与点O重合时运动结束. 在整个运动过程中,点C运动的路程是( )
A.4 B.6 C.4﹣2 D.10﹣4
如图,将半径为的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为( )
A.4cm B.2cm C.cm D.cm
如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
如图,AB是⊙O直径,若∠AOC=140°,则∠D的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.70°
如图,在半径为5cm的⊙O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC等于( )
A.3 cm B.4cm C.5cm D.6cm
如图,在⊙O中,若点C是 的中点,∠A=50°,则∠BOC=( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
如图,是的内接三角形,,过点的圆的切线交于点,则的度数为( )
A.32° B.31° C.29° D.61°
如图,BE是圆O的直径,点A和点D是⊙O上的两点,过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C,
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;
(2)若AB=AC,CE=2,求⊙O半径的长.
如图,是的直径,点为的中点,为的弦,且,垂足为,连接交于点,连接,,.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
如图,△ABC内接于⊙O,,点为上的动点,且.
(1)求的长度;
(2)在点D运动的过程中,弦AD的延长线交BC的延长线于点E,问AD•AE的值是否变化?若不变,请求出AD•AE的值;若变化,请说明理由.
(3)在点D的运动过程中,过A点作AH⊥BD,求证:.
如图内接于,,CD是的直径,点P是CD延长线上一点,且.
求证:PA是的切线;
若,求的直径.
如图,AB是⊙O的直径,C是的中点,CE⊥AB于 E,BD交CE于点F.
(1)求证:CF﹦BF;
(2)若CD﹦6, AC﹦8,则⊙O的半径和CE的长.
已知是的直径,弦与相交,.
(Ⅰ)如图①,若为的中点,求和的大小;
(Ⅱ)如图②,过点作的切线,与的延长线交于点,若,求的大小.
如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连结BC.
(1)求证:AE=ED;
(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.
如图,在中,,,以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.
(1)求证:;
(2)填空:
①若,且点E是的中点,则DF的长为 ;
②取的中点H,当的度数为 时,四边形OBEH为菱形.
如图,D是△ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F,BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB,
(1)求证:BG∥CD;
(2)设△ABC外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
如图,AD是△ABC的外接圆⊙O的直径,点P在BC延长线上,且满足∠PAC=∠B.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)弦CE⊥AD交AB于点F,若AF•AB=12 ,求AC的长.
如图,在圆O中,弦AB=8,点C在圆O上(C与A,B不重合),连接CA、CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是点D、E
(1)求线段DE的长;
(2)点O到AB的距离为3,求圆O的半径.
在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,﹣2).点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.
(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.
(2)如图①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.
(3)如图②,经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.
如图,已知A、B、C、D、E是⊙O上五点,⊙O的直径BE=2,∠BCD=120°,A为的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.
(1)求线段BD的长;
(2)求证:直线PE是⊙O的切线.
如图,⊙O中,AB是⊙O的直径,G为弦AE的中点,连接OG并延长交⊙O于点D,连接BD交AE于点F,延长AE至点C,使得FC=BC,连接BC.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)⊙O的半径为5,tanA=,求FD的长.
已知,分别与相切于点,,,为上一点.
(Ⅰ)如图①,求的大小;
(Ⅱ)如图②,为的直径,与相交于点,若,求的大小.
如图1,已知⊙O是ΔADB的外接圆,∠ADB的平分线DC交AB于点M,交⊙O于点C,连接AC,BC.
(1)求证:AC=BC;
(2)如图2,在图1 的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E,连接AF,过点A作⊙O的切线AH,若AH//BC,求∠ACF的度数;
(3)在(2)的条件下,若ΔABD的面积为,ΔABD与ΔABC的面积比为2:9,求CD的长.
如图,⊙中,弦与相交于点,,连接.
求证:⑴;
⑵.
如图,在正方形中,是上一点,连接.过点作,垂足为.经过点、、,与相交于点.
(1)求证;
(2)若正方形的边长为,,求的半径.
如图,O是△ABC的外心,I是△ABC的内心,连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.
(1)求证:EB=EI;
(2)若AB=4,AC=3,BE=2,求AI的长.
如图,AB是⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,∠AC平分∠BAD,连接BF.
(1)求证:AD⊥ED;
(2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半径.
如图乙,和是有公共顶点的等腰直角三角形,,点P为射线BD,CE的交点.
如图甲,将绕点A 旋转,当C、D、E在同一条直线上时,连接BD、BE,则下列给出的四个结论中,其中正确的是______.
若,,把绕点A旋转,
当时,求PB的长;
求旋转过程中线段PB长的最大值.
如图,四边形ABCD的顶点在⊙O上,BD是⊙O的直径,延长CD、BA交于点E,连接AC、BD交于点F,作AH⊥CE,垂足为点H,已知∠ADE=∠ACB.
(1)求证:AH是⊙O的切线;
(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;
(3)若,求证:CD=DH.
如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D,连接BD.
(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题:线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考,小明出一种思路:如图1,过点B作BE⊥BD,交MN于点E,进而得出:DC+AD= BD.
(2)探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系,并证明
(3)拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中,当△ABD面积取得最大值时,若CD长为1,请直接写BD的长.
如图,在以点为中心的正方形中,,连接,动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点停止.在运动过程中,的外接圆交于点,连接交于点,连接,将沿翻折,得到.
(1)求证:是等腰直角三角形;
(2)当点恰好落在线段上时,求的长;
(3)设点运动的时间为秒,的面积为,求关于时间的关系式.
已知:如图,AB为的直径,点C是半圆上一点,CE⊥AB于E,BF∥OC,连接BC,CF.
(1)求证:∠OCF=∠ECB;
(2)当AB=10,BC=,求CF的值.
如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点O作OD⊥AB,交BC的延长线于D,交AC于点E,F是DE的中点,连接CF.
(1)求证:CF是⊙O的切线.
(2)若∠A=22.5°,求证:AC=DC.
如图,⊙O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.
如图1,为半圆的直径,点为圆心,为半圆的切线,过半圆上的点作交于点,连接.
(1)连接,若,求证:是半圆的切线;
(2)如图2,当线段与半圆交于点时,连接,,判断和的数量关系,并证明你的结论.
已知⊙的直径为,点,点,点在⊙上,的平分线交⊙于点.
()如图①,若为⊙的直径,,求,,的长.
()如图②,若,求的长.
如图,在四边形中,,.是四边形内一点,且.求证:(1);(2)四边形是菱形.
如图,AN是⊙M的直径,NB∥x轴,AB交⊙M于点C
(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;
(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是⊙M的切线.
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AC,BC.
(1)求证:∠A=∠BCD;
(2)若AB=10,CD=6,求BE的长.
如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,交BC于点F,∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证:DE=DB:
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径;
(3)若BD=6,DF=4,求AD的长
如图,BC是半⊙O的直径,点P是半圆弧的中点,点A是弧BP的中点,AD⊥BC于D,连结AB、PB、AC,BP分别与AD、AC相交于点E、F.
(1)求证:AE=BE;
(2)判断BE与EF是否相等吗,并说明理由;
(3)小李通过操作发现CF=2AB,请问小李的发现是否正确?若正确,请说明理由;若不正确,请写出CF与AB正确的关系式.
如图,是的直径,点是延长线上的一点,点在上,且AC=CD,.
求证:是的切线;
若的半径为,求图中阴影部分的面积.
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,过点B作直线BF,交AC的延长线于点F.
(1)求证:BE=CE;
(2)若AB=6,求弧DE的长;
(3)当∠F的度数是多少时,BF与⊙O相切,证明你的结论.
如图,二次函数y=x2-2mx+8m的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边且OA≠OB),交y轴于点C,且经过点(m,9m),⊙E过A、B、C三点。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求点E的坐标;
(3)过抛物线上一点P(点P不与B、C重合)作PQ⊥x轴于点Q,是否存在这样的点P使△PBQ和△BOC相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由
如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC。
(1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长。
如图,在△ABC中,BC=AC=6,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点;
(2)求点O到直线DE的距离.
如图,点,,,在上,,,,则________.
如图,已知正方形ABCD的边长是4,点E是AB边上一动点,连接CE,过点B作BG⊥CE于点G,点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为_____.
如图,AB为△ADC的外接圆⊙O的直径,若∠BAD=50°,则∠ACD=_____°.
如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D,若☉O的半径为2,则CD的长为_____
如图,已知AB是⊙O的直径,AB=2,C、D是圆周上的点,且∠CDB=30°,则BC的长为______.
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,CD=6,则BE=______.
如图,在⊙O中,P为直径AB上的一点,过点P作弦MN,满足∠NPB=45°,若AP=2cm,BP=6cm,则MN的长是_____cm.
已知的半径为,,是的两条弦,,,,则弦和之间的距离是__________.
如图所示,AB是⊙O的直径,弦于H,,则⊙O的半径是_______.
如图,一下水管道横截面为圆形,直径为100cm,下雨前水面宽为60cm,一场大雨过后,水面宽为80cm,则水位上升______cm.
同圆中,已知弧AB所对的圆心角是100°,则弧AB所对的圆周角是_____.
如图,是圆的弦,,垂足为点,将劣弧沿弦折叠交于的中点,若,则圆的半径为_____.
如图,是⊙上的四点,且点是的中点,交于点,,,那么_____.
如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=40度,∠C=20度,则∠B=_____度.
如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A=32°,则∠D=_____度.
如图,点A、B、C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧上,且OA=AB,则∠ABC=_____.